Rozwiązanie
Krok 1. Obliczenie długości odcinków \(QR\) oraz \(SR\).
Wiemy, że promień okręgu ma długość \(r=1\). Odcinek \(PQ\) jest średnicą tego okręgu, czyli tym samym możemy zapisać, że:
$$|PQ|=2\cdot1 \\
|PQ|=2$$
W treści zadania mamy podaną informację, że zachodzi zależność opisana równaniem \(\frac{|PQ|}{|QR|}=\frac{2}{3}\). Skoro więc \(|PQ|=2\), to wniosek z tego płynie taki, iż \(|QR|=3\).
Możemy też już policzyć długość odcinka \(SR\), ponieważ:
$$|SR|=r+|QR| \\
|SR|=1+3 \\
|SR|=4$$
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(TR\).
Spójrzmy na trójkąt \(STR\). Jest to trójkąt prostokątny, ponieważ z własności stycznych do okręgu wynika, że styczna do okręgu tworzy z promieniem kąt prosty. Skoro tak, to korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
$$|ST|^2+|TR|^2=|SR|^2 \\
1^2+|TR|^2=4^2 \\
1+|TR|^2=16 \\
|TR|^2=15 \\
|TR|=\sqrt{15} \quad\lor\quad |TR|=-\sqrt{15}$$
Długość odcinka musi być oczywiście dodatnia, stąd też zostaje nam jedynie \(|TR|=\sqrt{15}\).
Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(TU\).
Korzystając z twierdzenia Talesa, możemy zapisać, że:
$$\frac{|TU|}{|TR|}=\frac{|SQ|}{|SR|} \\
\frac{|TU|}{\sqrt{15}}=\frac{1}{4} \\
|TU|=\frac{\sqrt{15}}{4}$$
