Dane są liczby: a=4^3+4^3+4^3+4^3, b=(2^4)^2, c=2^4

Dane są liczby:

\(a=4^3+4^3+4^3+4^3\)

\(b=(2^4)^2\)

\(c=2^4\)



Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F - jeśli jest fałszywe.

Liczby \(a\) i \(b\) są równe.

Liczba \(b\) jest dwa razy większa niż liczba \(c\).

Rozwiązanie

Krok 1. Sprowadzenie liczb do jednakowej podstawy potęgi.
Aby móc porównać te wszystkie liczby musimy sprowadzić je do jednakowej podstawy potęgi lub jednakowego wykładnika potęgi. W tym przypadku będziemy sprowadzać liczby do jednakowej podstawy potęgi, która będzie równa \(2\). Rozpiszmy sobie zatem każdą z liczb po kolei.

W przypadku liczby \(a\) musimy najpierw wykonać dodawanie potęg. Wiemy, że na dodawanie i odejmowanie potęg nie ma jakichś specjalnych wzorów (nie możemy dodawać wykładników potęg, bo wykładniki dodajemy przy mnożeniu potęg!). Trzeba się tutaj posłużyć pewnym sprytem i zauważyć, że czterokrotnie dodajemy tą samą potęgę, czyli \(4^3\). Całość rozpisać możemy więc w następujący sposób:
$$a=4^3+4^3+4^3+4^3=4\cdot4^3=4^1\cdot4^3=4^{1+3}=4^4$$

Chcemy jeszcze sprowadzić tę liczbę do podstawy potęgi równej \(2\), zatem zapisując \(4\) jako \(2^2\) i korzystając z działań na potęgach otrzymamy:
$$a=4^4=(2^2)^4=2^{2\cdot4}=2^8$$

Teraz przejdźmy do liczby \(b\). Tutaj sprawa jest prosta, bo mamy potęgę do potęgi, więc wykładniki musimy wymnożyć:
$$b=(2^4)^2=2^{4\cdot2}=2^8$$

Na koniec liczba \(c\). Z nią nic nie musimy robić, bo jest ona już zapisana w pożądanej przez nas postaci, zatem \(c=2^4\).

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
W poprzednim kroku udało nam się ustalić, że \(a=2^8\) oraz że \(b=2^8\). Te dwie liczby są więc sobie równe, czyli zdanie jest prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wiemy, że \(b=2^8\) oraz że \(c=2^4\). Już w tym momencie powinniśmy dostrzec, że liczba \(b\) nie jest dwa razy większa niż liczba \(c\), ale jeśli tego nie dostrzegamy, to zawsze możemy podzielić te dwie liczby przez siebie:
$$2^8:2^4=2^{8-4}=2^4=16$$

To oznacza, że liczba \(b\) jest \(16\) razy większa od liczby \(c\).

Odpowiedź

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments