Rozwiązanie
Ustalmy najpierw o co konkretnie chodzi w tym zadaniu. Musimy ustalić, kiedy zbiór rozwiązań tego równania jest zbiorem pustym, czyli kiedy to równanie po prostu nie ma rozwiązań. Aby równanie nie miało rozwiązań, musimy otrzymać sprzeczność typu np. \(2=4\) albo \(0=-1\). Sprawdźmy zatem jak będzie kształtować się sytuacja dla poszczególnych propozycji, czyli dla \(a=0\), \(a=2\) oraz \(a=-2\).
Dla \(a=0\) otrzymamy:
$$(0^2-4)x=0^2-2\cdot0 \\
(0-4)x=0-0 \\
-4x=0 \\
x=0$$
To nie jest sytuacja, która nas interesuje, ponieważ to równanie ma rozwiązanie.
Dla \(a=2\) otrzymamy:
$$(2^2-4)x=2^2-2\cdot2 \\
(4-4)x=4-4 \\
0\cdot x=0 \\
L=P$$
To także nie jest więc sytuacja, która nas interesuje, ponieważ tutaj lewa i prawa strona równania sa sobie równe, a to oznacza, że takie równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Dla \(a=-2\) otrzymamy:
$$((-2)^2-4)x=(-2)^2-2\cdot(-2) \\
(4-4)x=4-(-4) \\
0\cdot x=8 \\
L\neq P$$
Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, ponieważ nie istnieje jakikolwiek \(x\), który pomnożony przez \(0\) dałby wynik równy \(8\). To jest więc sytuacja, której szukaliśmy. Możemy więc powiedzieć, że zbiór rozwiązań tego równania jest pusty dla \(a=-2\), ponieważ wtedy równanie ma postać \(0\cdot x=8\).
