Rozwiązanie
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Chcąc zapisać postać kanoniczną, musimy najpierw poznać współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p,q)\). W tym celu musimy skorzystać ze wzorów \(p=\frac{-b}{2a}\) oraz \(q=\frac{-Δ}{4a}\), do których będziemy podstawiać współczynniki funkcji kwadratowej zapisanej w treści zadania, czyli: \(a=1\), \(b=5\) oraz \(c=6\).
Zacznijmy od współrzędnej \(p\), zatem:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-5}{2}=-\frac{5}{2}$$
Teraz obliczmy współrzędną \(q\). Tutaj we wzorze pojawia nam się delta, więc może wyliczmy ją osobno dla lepszej przejrzystości zapisu:
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$$
I teraz znając deltę, możemy zapisać, że:
$$q=\frac{-Δ}{4a} \\
q=\frac{-1}{4\cdot1} \\
q=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}$$
To oznacza, że \(W=\left(-\frac{5}{2},-\frac{1}{4}\right)\).
Teraz możemy przejść do zapisania postaci kanonicznej. Postać kanoniczną zapisujemy jako:
$$y=a(x-p)^2+q$$
Wiemy już, że \(p=-\frac{5}{2}\) oraz \(q=-\frac{1}{4}\). Z postaci ogólnej odczytaliśmy też, że \(a=1\), zatem podstawiając te wszystkie informacje do powyższego wzoru, otrzymamy:
$$y=1\cdot\left(x-(-\frac{5}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{4}\right) \\
y=\left(x+\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$$
Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Do zapisania postaci iloczynowej będziemy potrzebować miejsc zerowych. Musimy więc rozwiązać równanie kwadratowe \(x^2+5x+6=0\), a skoro deltę liczyliśmy już w poprzednim kroku i wyszło nam, że \(Δ=1\), to możemy przejść do zapisania rozwiązań:
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-1}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+1}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2$$
Teraz możemy przystąpić do zapisania postaci iloczynowej. Postać iloczynową zapisujemy jako:
$$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$
Podstawiając wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe \(x_{1}=-3\) oraz \(x_{2}=-2\), a także współczynnik \(a=1\), otrzymamy:
$$y=1\cdot(x-(-3))(x-(-2)) \\
y=(x+3)(x+2)$$
