Dana jest funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x)=-(x+1)^2+4

B

Nasza funkcja kwadratowa jest zapisana w postaci kanonicznej typu \(f(x)=a(x-p)^2+q\). Możemy z niej wprost odczytać współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\), tylko musimy uważać na znaki. Ze wzoru \(f(x)=-(x+1)^2+4\) wynika, że \(p=-1\) oraz \(q=4\).

Dodatkowo minus stojący przed nawiasem informuje nas, że współczynnik \(a=-1\), co wpłynie na to, że parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. To oznacza, że nasza parabola wygląda mniej więcej w ten oto sposób:


W tym zadaniu musimy odczytać zbiór wartości funkcji \(f\). Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości od minus nieskończoności aż do \(4\) włącznie, czyli zbiorem wartości będzie przedział \((-\infty,4\rangle\)

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a oś symetrii przebiegać będzie przez jej wierzchołek. Skoro współrzędna \(p=-1\), to tym samym osią symetrii będzie prosta \(x=-1\), zatem zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Aby sprawdzić, w jakim punkcie wykres funkcji przetnie się z osią \(Oy\), wystarczy podstawić do wzoru funkcji \(x=0\), zatem:
$$f(0)=-(0+1)^2+4 \\
f(0)=-1+4 \\
f(0)=3$$

To oznacza, że dla \(x=0\) funkcja przyjęła wartość \(y=3\), a więc tym samym wykres tej funkcji będzie przechodził przez punkt \((0,3)\). Zdanie jest więc prawdą.

C

Z zapisu funkcji \(g(x)=f(x+4)\) wynika, że funkcja \(g(x)\) powstała w wyniku przesunięcia funkcji \(f(x)\) o \(4\) jednostki w lewo. Po takim przesunięciu zmieni się położenie wierzchołka paraboli o \(4\) miejsca w lewo, co pozwoliłoby nam wywnioskować, że teraz \(p=-1-4=-5\). To pozwoliłoby nam od ręki zapisać, że \(g(x)=-(x-(-5))^2+4\) czyli \(g(x)=-(x+5))^2+4\)

Ewentualnie chcąc poznać wzór funkcji \(g(x)\), wystarczy podstawić \(x+4\) do wzoru funkcji \(f(x)=-(x+1)^2+4\), zatem:
$$g(x)=-(x+4+1)^2+4 \\
g(x)=-(x+5)^2+4$$