Czworokąt ABCD wpisano w okrąg tak, że bok AB jest średnicą tego okręgu

Czworokąt \(ABCD\) wpisano w okrąg tak, że bok \(AB\) jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że \(|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2\).

czworokąt ABCD wpisano w okrąg tak że bok AB jest średnicą tego okręgu

Rozwiązanie:

Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie, że trójkąty \(ABC\) i \(ABD\) są prostokątne. Skąd to wiemy? Obydwa trójkąty wyznaczone przez przekątne czworokąta są oparte na średnicy okręgu, a z własności figur w okręgach wiemy, że to jest równoznaczne z tym że dany trójkąt jest prostokątny. Tak więc:
$$\sphericalangle ADB|=|\sphericalangle ACB|=90°$$

Skoro są to trójkąty prostokątne to do udowodnienia tezy zawartej w zadaniu możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa, tworząc prosty układ równań:
\begin{cases}
\text{Trójkąt }ABD: |AD|^2+|BD|^2=|AB|^2 \\
\text{Trójkąt }ABC: |BC|^2+|AC|^2=|AB|^2
\end{cases}

Po prawej stronie tych dwóch równań mamy wartość \(|AB|^2\), więc korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2$$

Co należało udowodnić.

Odpowiedź:

Udowodniono wykorzystując własności trójkątów opartych na średnicy oraz wykorzystując Twierdzenie Pitagorasa.

Dodaj komentarz