Rozwiązanie
Krok 1. Obliczenie wartości sinusa.
Z jedynki trygonometrycznej wynika, że \(sin^2α+cos^2α=1\). Podstawiając zatem podaną w treści zadania wartość cosinusa, otrzymamy:
$$sin^2α+\left(\frac{2}{3}\right)^2=1 \\
sin^2α+\frac{4}{9}=1 \\
sin^2α=\frac{5}{9} \\
sinα=\sqrt{\frac{5}{9}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{5}{9}}$$
Ujemną wartość sinusa odrzucamy, ponieważ dla kątów ostrych sinus przyjmuje wartości dodatnie. Stąd też zostaje nam \(sinα=\sqrt{\frac{5}{9}}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(sinα=\frac{\sqrt{5}}{3}\).
Krok 2. Obliczenie wartości tangensa.
Znając wartość sinusa oraz cosinusa, możemy bez problemy wyznaczyć wartość tangensa:
$$tgα=\frac{sinα}{cosα} \\
tgα=\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} \\
tgα=\frac{\sqrt{5}}{3}:\frac{2}{3} \\
tgα=\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot\frac{3}{2} \\
tgα=\frac{\sqrt{5}}{2}$$
