Ciągi (an), (bn) oraz (cn) są określone dla każdej liczby naturalnej n≥1 następująco

Ciągi \((a_{n})\), \((b_{n})\) oraz \((c_{n})\) są określone dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) następująco:

$$a_{n}=6n^2-n^3 \\

b_{n}=2n+13 \\

c_{n}=2^n$$



Wskaż zdanie prawdziwe.

Rozwiązanie

Teoretycznie już po samym wzorze powinniśmy się zorientować, że jedynie ciąg \((b_{n})\) jest arytmetyczny. Nie mniej jednak, aby nie było żadnych wątpliwości, dobrze jest sprawdzić sobie kilka początkowych wyrazów każdego ciągu. Przykładowo:

Ciąg \(a_{n}\):
$$a_{1}=6\cdot1^2-1^3=6-1=5 \\
a_{2}=6\cdot2^2-2^3=6\cdot4-8=24-8=16 \\
a_{3}=6\cdot3^2-3^3=6\cdot9-27=54-27=27 \\
a_{4}=6\cdot4^2-4^3=6\cdot16-64=96-64=32$$

To nie jest ciąg arytmetyczny, bo \(a_{2}-a_{1}=11\), natomiast \(a_{4}-a_{3}=5\).

Ciąg \(b_{n}\):
$$b_{1}=2\cdot1+13=2+13=15 \\
b_{2}=2\cdot2+13=4+13=17 \\
b_{3}=2\cdot3+13=4+13=19 \\
b_{4}=2\cdot4+13=8+13=21$$

Tu wyraźnie widzimy, że każdy kolejny wyraz jest o \(2\) większy od poprzedniego i że tym samym jest to ciąg arytmetyczny, w którym \(r=2\).

Ciąg \(c_{n}\):
$$c_{1}=2^1=2 \\
c_{2}=2^2=4 \\
c_{3}=2^3=8 \\
c_{4}=2^4=16$$

To nie jest ciąg arytmetyczny, bo \(c_{2}-c_{1}=2\), natomiast \(c_{4}-c_{3}=8\).

Ciągiem arytmetycznym jest więc jedynie ciąg \((b_{n})\).

Odpowiedź

B

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments