Ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2^n\) dla \(n\ge1\). Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:
\(2(1-2^{10})\)
\(-2(1-2^{10})\)
\(2(1+2^{10})\)
\(-2(1+2^{10})\)
Rozwiązanie:
Krok 1. Obliczenie wartości ilorazu \(q\).
Aby wyznaczyć wartość ilorazu \(q\) obliczmy sobie najpierw wartość pierwszego i drugiego wyrazu tego ciągu:
$$a_{n}=2n \\
a_{1}=2^1=2 \\
a_{2}=2^2=4$$
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{4}{2}=2$$
Krok 2. Obliczenie sumy dziesięciu pierwszych wyrazów.
Znając wartość ilorazu \(q\) oraz wartość pierwszego wyrazu, możemy skorzystać z następującego wzoru:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \\
S_{10}=2\cdot\frac{1-2^{10}}{1-2} \\
S_{10}=2\cdot\frac{1-2^{10}}{-1} \\
S_{10}=-2\cdot(1-2^{10})$$
Odpowiedź:
B. \(-2(1-2^{10})\)
W obliczaniu sumy wyrazu jest błąd. Odwrotnością dzielenia jest mnożenie z przeciwnym znakiem (1-2^10/-1 inaczej (2^10)*1/1=2*(1-2^10)
Odpowiedź: A
Wszystko jest policzone jak najbardziej poprawnie :) Powiem nawet więcej – to zadanie z jednej z matur i nawet w kluczu odpowiedzi jest odpowiedź B ;)