Uczę matematyki od 19 lat. Jestem zafascynowany genialnym objaśnieniem tych zadań. Wspaniale uczą działań na ciągach arytmetycznych. Polecę je moim uczniom.
Ale czemu a13? Wiemy, że n musi być mniejsze niż 14,5, więc nas interesuje a14, stąd też później podstawiamy n=14.
Tak na marginesie, to jak podstawisz n=13 to nie wyjdzie Ci 21 ;)
Ulala
super zadania podoba mi się sposób z wyjaśnieniami, który był pomocny dzięki :-)
Malecha
Zadania – super. Świetne wyjaśnienia. Dzięki.
Przerażony uczeń
Są to zadania do matury podstawowej i rozszerzonej czy tylko podstawowej?
Ale chwilunia – przecież wynik Twojego działania to 1008, a nie 2016 :D 7+89 przez 2 to jest 48 i to razy 21 daje właśnie 1008 ;)
anka1nina
zadanie 5. Czy można po prostu potraktować to jako dodając tak jakby n? czyli wychodzi: a) 11=10, b) 10=11, c) 11=11, d) 12=16. Więc odpowiedź to c? Bo tak jakby dodać liczby naturalne ciągu 1,2,3,4, …
No nie bardzo można tak do tego podchodzić i już pokazuję Ci dlaczego. Załóżmy, że a1=10, natomiast r=100. To oznacza, że a2 jest równe 110. Czy w takim razie a1+a1 jest równe 2, tak jak 1+1=2? A no nie ;)
Paulina
W zadaniu 19 jeżeli użyje ze wzoru SN to wyjdzie 78 a jeśli policzę w sposób a1+a2+….a6= 68 Hm
No to liczymy! :D
3+7+11+15+19+23=78, czyli wszystko się zgadza ;)
anka1nina
zadanie 22. Nie wiem czy mój sposób jest poprawny ale wyszło mi tyle samo. Wyliczyłam a1 (wyliczyłam też a2 i r ale nie były potrzebne). następnie 2016-3n >(większe bądź równe) od 1. Z wyliczeń wyszło mi że n<(mniejsze bądź równe) 671 i 2/3. Jako że musi być naturalna liczba to wyszło mi że wyraz ostatni dodatni to 671 który wychodzi 3 czyli jest ostatnim który spełnia ten wzór. Wyliczając sumę z 671 wyrazów wyszło mi 676368 czyli jak w odpowiedziach. Z Pana wyjaśnień nie rozumiem dlaczego n ma być większe od 0 jak mamy w treści większe bądź równe 1.… Czytaj więcej »
Ale chwila chwilunia :D Po pierwsze – nigdzie nie napisałem, że n ma być większe od 0, choć tak czy inaczej byłoby to prawdą :) n jest liczbą naturalną, więc pierwszą pasującą liczbą jest 1. Można więc powiedzieć, że n jest większe od 0, że n jest dodatnią liczbą naturalną, lub że n jest większe/równe 1 – każdy ten opis będzie z grubsza poprawny ;) Po drugie, nigdzie nie wyszło mi 672, tylko wyszło, że n ma być mniejsze od 672. Dodatnich liczb naturalnych mniejszych od 672 jest właśnie 671. Po trzecie – Twój sposób nie jest poprawny. Mamy sprawdzić,… Czytaj więcej »
przepraszam pisałam o późnej godzinie. Chodziło mi o an>0. dlatego musi być większe od zera bo szukamy liczb dodatnich?
Jeśli chodzi o 672 chodziło mi o to co Pan napisał ale źle napisałam to zdanie.
Rozumiem czyli to był przypadek że mi tak wyszło :) dziękuję za wyjaśnienia :)
Dokładnie tak :) Analogicznie, gdybyśmy szukali np. liczb większych od 10, to wtedy trzeba byłoby rozwiązać nierówność 2016-3n>10.
Wynik wyszedł Ci przypadkowo poprawnie, bo tak się złożyło, że ten ciąg ma tyle samo liczb dodatnich, co liczb większych od 1 :)
Jeszcze dodam, aby rozwiać wszelkie wątpliwości – w ciągach wartość n musi być liczbą naturalną dodatnią, ale sam wyraz ciągu może być już dowolną liczbą rzeczywistą :)
właśnie o n pamiętałam ale ubzdurałam sobie że wyraz ma być też dodatni i przez to wszystko pomieszałam :) Ciężko wraca się do matematyki po kilkunastu latach ale na szczęście zawsze lubiłam matematykę więc jestem pozytywnie nastawiona :)
Dlatego bardzo dobrze, że pytasz i od razu próbujesz rozwiać wątpliwości, bo szkoda potem tracić głupio punkty na maturze (zwłaszcza z ciągów!) ;) Przy okazji skorzystają z tego inni uczniowie i o to właśnie chodzi – uczymy się wspólnie i wspólnie pokonujemy różne trudności.
Jarek
Hej, czemu w 21, przy wzorze na Nty wyraz jest 2 na początku, bo coś mi świta, ale nie mogę przypomniec sobie dlaczego jest ta dwojka dodana ;//
Tam nie ma wzoru na n-ty wyraz, tylko na sumę n początkowych wyrazów :) I jedną z wersji tego wzoru jest właśnie to, co jest tam zapisane na samym początku :)
Damun
Świetne zadania, świetna strona
Damun
Ta strona i matemaksa są najlepszymi w Polsce do nauki matmy, dzięki, świetna
jakdroganasieradz
Fajne zadanka
Oliwka23042019
Czy w zadaniu 6 moglibyśmy odczytać różnice jako liczbę, która stoi przy n we wzorze, czyli -2 ?
Tak, zdecydowanie tak :) Nie mniej jednak, nie każdy o tej własności pamięta :)
Anonymous
Skąd w zadaniu 16 wiadomo, że an to wyraz 2? Przecież w treści nie mamy podane, że to są po kolei pierwszy, drugi, trzeci wyraz ciągu, tylko, że są to kolejne wyrazy ciągu, w związku z tym mogłoby to być np. a5,a6,a7
Dwie sprawy – treść zadania mówi nam, że nasz ciąg ma tak naprawdę tylko trzy wyrazy, są one podane, a my musimy tylko obliczyć niewiadome, więc jasnym jest, że posługujemy się zapisami a1, a2 oraz a3. Ale równie dobrze, jeśli chcesz, to możesz nazwać te wyrazy a5,a6,a7 i nie ma to wpływu na obliczenia, bo koniec końców podstawiając wyrażenia z treści zadania otrzymasz równanie y=x+19 przez 2 :)
Anonymous
W zadaniu 21 nie rozumiem skąd się wzięło to co jest po 2016 ——–>
2016=2⋅a1+(4−1)⋅r2⋅44032=2⋅a1+(12−1)⋅r2⋅12
To jest ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu, który jest zapisany na samym początku rozwiązywania. Raz do tego wzoru podstawiamy n=4, a za drugim razem podstawiamy n=12
A
Witam, dlaczego w ostatnim zadaniu jest wykorzystany wzór a2 = s2 – s1? Nie rozumiem skąd tez wzór tym bardziej, ze pierwszy raz go widze :p Myślałem, ze znajduje ze w kartach wzorów a tam pustka.
To nie jest wzór jako taki (stąd nie ma go w tablicach) – to jest po prostu pewna własność wynikająca z ciągów arytmetycznych (geometrycznych zresztą też). No bo czym jest S2? S2 to nic innego jak a1+a2. No więc jak od tego odejmiemy S1 (czyli po prostu a1) no to otrzymamy a2 którego szukamy ;)
ela
dziękuję, od łatwiejszych stopniowo coraz trudniej, świetne do nauki
Natalia
Dzień dobry mam pytanie odnośnie 20 zadania jak zrobiłam innym sposobem, ale r wyszło mi 5 oraz a1 wyszło mi 2 to też bym otrzymała komplet punktów?
No pewnie, sposób jest dowolny – byleby był poprawny ;)
KacperSz
Mam pytanie do zadania 18. Jeżeli porównam ogólny wzór na sumę n wyrazów ciągu ze wzorem podanym w zadaniu, po przemnożeniu obu stron równania przez 2 i podzieleniu przez n otrzymam wzór an = 2n – 4 – a1. Rozumiem, że wg wytycznych rozwiązanie nie jest poprawne, bo nie mamy podanej wartości a1. Czy jednak zostaną przyznane jakieś punkty za takie rozwiązanie? Swoją drogą, wystarczy już tylko wyliczyć a1 i podstawić do wzoru, nie licząc a2 i r.
Wydaje mi się, że to by było zbyt mało na choćby 1 punkt. Taki punkt jest dopiero wtedy, gdy mamy obliczone a1, więc jeszcze sam zapis równania będzie niewystarczający ;)
Elo312
Czy to są zadania z matur? Bo coś łatwe się wydają?
Tak, wszystkie z tych zadań wystąpiły na maturach sprzed lat ;)
Janee
zadanie 22, tam jest suma wszystkich dodatnich liczb, a zero nie jest zaliczane do dodatnich? obliczyłam że a672 to 0 i podstawiając pod wzór z sumy wyszła mi odpowiedź taka sama jak w odpowiedzi ale mimo wszystko z innych obliczeń to i tak jest dobrze?
Super zadania.
Pomaga w przygotowaniu się do maturki
Uczę matematyki od 19 lat. Jestem zafascynowany genialnym objaśnieniem tych zadań. Wspaniale uczą działań na ciągach arytmetycznych. Polecę je moim uczniom.
Wielkie dzięki za tak pozytywny komentarz! :)
Bardzo dobry materiał do przypomnienia ciągów polecam
Kozaczek zadanka <3
Rewelacyjnie wytłumaczone. Wszystkie zadania zrozumiałam!! Najlepsza stronka!!
Czy w zadaniu 21 nie powinno być najmniejsze a13=21?
Ale czemu a13? Wiemy, że n musi być mniejsze niż 14,5, więc nas interesuje a14, stąd też później podstawiamy n=14.
Tak na marginesie, to jak podstawisz n=13 to nie wyjdzie Ci 21 ;)
super zadania podoba mi się sposób z wyjaśnieniami, który był pomocny dzięki :-)
Zadania – super. Świetne wyjaśnienia. Dzięki.
Są to zadania do matury podstawowej i rozszerzonej czy tylko podstawowej?
To jest tylko matura podstawowa :)
Bardzo dobrze ułożone zadania, a przede wszystkim świetnie objaśnione.
Zadanka są super! Jestem tydzień przed maturą i powtarzam po kolei wszystkie działy, fajnie, że przeplatają się poziomami trudności. Pozdrawiam :)
czemu w zadaniu 23 odpowiedz to nie 21? s21=7+89/2 x 21 = 2016 tak mi wyszło
Ale chwilunia – przecież wynik Twojego działania to 1008, a nie 2016 :D 7+89 przez 2 to jest 48 i to razy 21 daje właśnie 1008 ;)
zadanie 5. Czy można po prostu potraktować to jako dodając tak jakby n? czyli wychodzi: a) 11=10, b) 10=11, c) 11=11, d) 12=16. Więc odpowiedź to c? Bo tak jakby dodać liczby naturalne ciągu 1,2,3,4, …
No nie bardzo można tak do tego podchodzić i już pokazuję Ci dlaczego. Załóżmy, że a1=10, natomiast r=100. To oznacza, że a2 jest równe 110. Czy w takim razie a1+a1 jest równe 2, tak jak 1+1=2? A no nie ;)
W zadaniu 19 jeżeli użyje ze wzoru SN to wyjdzie 78 a jeśli policzę w sposób a1+a2+….a6= 68 Hm
No to liczymy! :D
3+7+11+15+19+23=78, czyli wszystko się zgadza ;)
zadanie 22. Nie wiem czy mój sposób jest poprawny ale wyszło mi tyle samo. Wyliczyłam a1 (wyliczyłam też a2 i r ale nie były potrzebne). następnie 2016-3n >(większe bądź równe) od 1. Z wyliczeń wyszło mi że n<(mniejsze bądź równe) 671 i 2/3. Jako że musi być naturalna liczba to wyszło mi że wyraz ostatni dodatni to 671 który wychodzi 3 czyli jest ostatnim który spełnia ten wzór. Wyliczając sumę z 671 wyrazów wyszło mi 676368 czyli jak w odpowiedziach. Z Pana wyjaśnień nie rozumiem dlaczego n ma być większe od 0 jak mamy w treści większe bądź równe 1.… Czytaj więcej »
Ale chwila chwilunia :D Po pierwsze – nigdzie nie napisałem, że n ma być większe od 0, choć tak czy inaczej byłoby to prawdą :) n jest liczbą naturalną, więc pierwszą pasującą liczbą jest 1. Można więc powiedzieć, że n jest większe od 0, że n jest dodatnią liczbą naturalną, lub że n jest większe/równe 1 – każdy ten opis będzie z grubsza poprawny ;) Po drugie, nigdzie nie wyszło mi 672, tylko wyszło, że n ma być mniejsze od 672. Dodatnich liczb naturalnych mniejszych od 672 jest właśnie 671. Po trzecie – Twój sposób nie jest poprawny. Mamy sprawdzić,… Czytaj więcej »
przepraszam pisałam o późnej godzinie. Chodziło mi o an>0. dlatego musi być większe od zera bo szukamy liczb dodatnich?
Jeśli chodzi o 672 chodziło mi o to co Pan napisał ale źle napisałam to zdanie.
Rozumiem czyli to był przypadek że mi tak wyszło :) dziękuję za wyjaśnienia :)
Dokładnie tak :) Analogicznie, gdybyśmy szukali np. liczb większych od 10, to wtedy trzeba byłoby rozwiązać nierówność 2016-3n>10.
Wynik wyszedł Ci przypadkowo poprawnie, bo tak się złożyło, że ten ciąg ma tyle samo liczb dodatnich, co liczb większych od 1 :)
Jeszcze dodam, aby rozwiać wszelkie wątpliwości – w ciągach wartość n musi być liczbą naturalną dodatnią, ale sam wyraz ciągu może być już dowolną liczbą rzeczywistą :)
właśnie o n pamiętałam ale ubzdurałam sobie że wyraz ma być też dodatni i przez to wszystko pomieszałam :) Ciężko wraca się do matematyki po kilkunastu latach ale na szczęście zawsze lubiłam matematykę więc jestem pozytywnie nastawiona :)
Dlatego bardzo dobrze, że pytasz i od razu próbujesz rozwiać wątpliwości, bo szkoda potem tracić głupio punkty na maturze (zwłaszcza z ciągów!) ;) Przy okazji skorzystają z tego inni uczniowie i o to właśnie chodzi – uczymy się wspólnie i wspólnie pokonujemy różne trudności.
Hej, czemu w 21, przy wzorze na Nty wyraz jest 2 na początku, bo coś mi świta, ale nie mogę przypomniec sobie dlaczego jest ta dwojka dodana ;//
Tam nie ma wzoru na n-ty wyraz, tylko na sumę n początkowych wyrazów :) I jedną z wersji tego wzoru jest właśnie to, co jest tam zapisane na samym początku :)
Świetne zadania, świetna strona
Ta strona i matemaksa są najlepszymi w Polsce do nauki matmy, dzięki, świetna
Fajne zadanka
Czy w zadaniu 6 moglibyśmy odczytać różnice jako liczbę, która stoi przy n we wzorze, czyli -2 ?
Tak, zdecydowanie tak :) Nie mniej jednak, nie każdy o tej własności pamięta :)
Skąd w zadaniu 16 wiadomo, że an to wyraz 2? Przecież w treści nie mamy podane, że to są po kolei pierwszy, drugi, trzeci wyraz ciągu, tylko, że są to kolejne wyrazy ciągu, w związku z tym mogłoby to być np. a5,a6,a7
Dwie sprawy – treść zadania mówi nam, że nasz ciąg ma tak naprawdę tylko trzy wyrazy, są one podane, a my musimy tylko obliczyć niewiadome, więc jasnym jest, że posługujemy się zapisami a1, a2 oraz a3. Ale równie dobrze, jeśli chcesz, to możesz nazwać te wyrazy a5,a6,a7 i nie ma to wpływu na obliczenia, bo koniec końców podstawiając wyrażenia z treści zadania otrzymasz równanie y=x+19 przez 2 :)
W zadaniu 21 nie rozumiem skąd się wzięło to co jest po 2016 ——–>
2016=2⋅a1+(4−1)⋅r2⋅44032=2⋅a1+(12−1)⋅r2⋅12
To jest ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu, który jest zapisany na samym początku rozwiązywania. Raz do tego wzoru podstawiamy n=4, a za drugim razem podstawiamy n=12
Witam, dlaczego w ostatnim zadaniu jest wykorzystany wzór a2 = s2 – s1? Nie rozumiem skąd tez wzór tym bardziej, ze pierwszy raz go widze :p Myślałem, ze znajduje ze w kartach wzorów a tam pustka.
To nie jest wzór jako taki (stąd nie ma go w tablicach) – to jest po prostu pewna własność wynikająca z ciągów arytmetycznych (geometrycznych zresztą też). No bo czym jest S2? S2 to nic innego jak a1+a2. No więc jak od tego odejmiemy S1 (czyli po prostu a1) no to otrzymamy a2 którego szukamy ;)
dziękuję, od łatwiejszych stopniowo coraz trudniej, świetne do nauki
Dzień dobry mam pytanie odnośnie 20 zadania jak zrobiłam innym sposobem, ale r wyszło mi 5 oraz a1 wyszło mi 2 to też bym otrzymała komplet punktów?
No pewnie, sposób jest dowolny – byleby był poprawny ;)
Mam pytanie do zadania 18. Jeżeli porównam ogólny wzór na sumę n wyrazów ciągu ze wzorem podanym w zadaniu, po przemnożeniu obu stron równania przez 2 i podzieleniu przez n otrzymam wzór an = 2n – 4 – a1. Rozumiem, że wg wytycznych rozwiązanie nie jest poprawne, bo nie mamy podanej wartości a1. Czy jednak zostaną przyznane jakieś punkty za takie rozwiązanie? Swoją drogą, wystarczy już tylko wyliczyć a1 i podstawić do wzoru, nie licząc a2 i r.
Wydaje mi się, że to by było zbyt mało na choćby 1 punkt. Taki punkt jest dopiero wtedy, gdy mamy obliczone a1, więc jeszcze sam zapis równania będzie niewystarczający ;)
Czy to są zadania z matur? Bo coś łatwe się wydają?
Tak, wszystkie z tych zadań wystąpiły na maturach sprzed lat ;)
zadanie 22, tam jest suma wszystkich dodatnich liczb, a zero nie jest zaliczane do dodatnich? obliczyłam że a672 to 0 i podstawiając pod wzór z sumy wyszła mi odpowiedź taka sama jak w odpowiedzi ale mimo wszystko z innych obliczeń to i tak jest dobrze?
Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne ;) Wyszedł Ci ten sam wynik, bo dodając zero tak naprawdę suma się nie zmieni ;)