Ciąg arytmetyczny – zadania maturalne

B

Krok 1. Zapisanie wzoru na trzeci i jedenasty wyraz ciągu arytmetycznego.
Skorzystamy tutaj ze wzoru:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Podstawiając do niego \(n=3\) oraz \(n=11\) otrzymamy:
$$a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{11}=a_{1}+10r$$

Krok 2. Obliczenie wartości różnicy tego ciągu.
Korzystając ze wzorów które wypisaliśmy sobie w pierwszym kroku i z wartości poszczególnych wyrazów podanych w treści zadania możemy ułożyć prosty układ równań:
\begin{cases}
a_{1}+2r=14 \\
a_{1}+10r=34
\end{cases}

Ten układ możemy rozwiązać w dowolny sposób np. metodą podstawiania, gdzie do drugiego równania podstawimy \(a_{1}=14-2r\). Możemy też odjąć te równania stronami i tak też będzie najprościej. Otrzymamy wtedy:
$$-8r=-20 \\
8r=20 \\
r=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}$$

C

To zadanie możemy rozwiązać tak naprawdę na dwa sposoby.
I sposób (na logikę):
W ciągu arytmetycznym każda kolejna liczba jest powiększona lub pomniejszona o tą samą wartość. W związku z tym różnica między piątym i trzecim wyrazem będzie taka sama jak między trzecim i pierwszym.
Skoro: \(a_{5}-a_{3}=39-13=26\)
To: \(a_{3}-a_{1}\) także będzie równe \(26\)
W ten sposób powstaje nam równanie:
$$a_{3}-a_{1}=26 \\
13-a_{1}=26 \\
-a_{1}=13 \\
a_{1}=-13$$

II sposób (bardziej uniwersalny):
Za pomocą wzorów z tablic matematycznych możemy wyznaczyć \(r\), czyli różnicę ciągu arytmetycznego.
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Korzystając z tego wzoru i podstawiając wartości \(a_{3}\) oraz \(a_{5}\) otrzymamy układ równań:

\begin{cases}
a_{3}=a_{1}+(3-1)r \\
a_{5}=a_{1}+(5-1)r
\end{cases}\begin{cases}
13=a_{1}+2r \quad\bigg/\cdot2 \\
39=a_{1}+4r
\end{cases}\begin{cases}
26=2a_{1}+4r \\
39=a_{1}+4r
\end{cases}\begin{cases}
26-2a_{1}=4r \\
39=a_{1}+4r
\end{cases}

Korzystamy z metody podstawiania, podstawiając za \(4r\) z pierwszego równania wartość \(26-2a_{1}\) i w ten sposób otrzymujemy:
$$39=a_{1}+26-2a_{1} \\
13=-a_{1} \\
a_{1}=-13$$

B

Zanim zaczniemy obliczanie, to już na samym wstępie warto zauważyć, że możemy odrzucić odpowiedzi \(A\) oraz \(D\). Dlaczego? Widać wyraźnie, że jest to ciąg arytmetyczny rosnący, więc piąty wyraz nie może być mniejszy niż czwarty. Tak prawdę mówiąc można byłoby to zadanie obliczyć nawet na logikę, bo mamy dość proste liczby, ale obliczmy to sobie wszystko dokładnie, bo nie zawsze będzie można tak łatwo dojść do rozwiązania:

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Każdy wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać jako:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

To oznacza, że:
$$a_{2}=a_{1}+(2-1)r\\
a_{2}=a_{1}+r \\
\text{oraz} \\
a_{4}=a_{1}+(4-1)r \\
a_{4}=a_{1}+3r$$

Z racji tego, że znamy wartości drugiego i czwartego wyrazu to możemy stworzyć prosty układ równań z którego wyznaczymy wartość różnicy ciągu.
\begin{cases}
a_{1}+r=5 \\
a_{1}+3r=11
\end{cases}

Odejmując to równanie stronami otrzymamy:
$$-2r=-6 \\
r=3$$

Krok 2. Obliczenie wartości piątego wyrazu tego ciągu.
Skoro czwarty wyraz ciągu jest równy \(11\), a każdy kolejny jest o \(3\) większy (bo \(r=3\)), to piąty wyraz tego ciągu będzie równy \(11+3=14\).

D

Aby obliczyć sumę dwudziestu pierwszych wyrazów tego ciągu arytmetycznego musimy posłużyć się wzorem:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$

Obliczamy sumę dwudziestu pierwszy wyrazów ciągu arytmetycznego (czyli \(n=20\)) podstawiając do powyższego wzoru informacje z treści zadania: \(a_{1}=3\) oraz \(a_{20}=7\).
$$S_{20}=\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot n \\
S_{n}=\frac{3+7}{2}\cdot20 \\
S_{20}=\frac{10}{2}\cdot20 \\
S_{20}=5\cdot20=100$$

C

Jest kilka możliwości rozwiązania tego zadania. W zadaniu zamkniętym (takim jak to) możemy teoretycznie nawet napisać sobie przykładowy ciąg typu \(1,2,3,4...\) i sprawdzić która równość będzie prawdziwa. My rozwiążemy sobie to zadanie chyba najprostszą i najbardziej uniwersalną metodą wykorzystując wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\).

Sprawdźmy teraz każdą z odpowiedzi porównując lewą i prawą stronę danego równania:
Odp. A.
\(L=a_{4}+a_{7}=a_{1}+3r+a_{1}+6r=2a_{1}+9r \\
P=a_{10}=a_{1}+9r \\
L\neq P\)

Odp. B.
\(L=a_{4}+a_{6}=a_{1}+3r+a_{1}+5r=2a_{1}+8r \\
P=a_{3}+a_{8}=a_{1}+2r+a_{1}+7r=2a_{1}+9r \\
L\neq P\)

Odp. C.
\(L=a_{2}+a_{9}=a_{1}+1r+a_{1}+8r=2a_{1}+9r \\
P=a_{3}+a_{8}=a_{1}+2r+a_{1}+7r=2a_{1}+9r \\
L=P\)

Odp. D.
\(L=a_{5}+a_{7}=a_{1}+4r+a_{1}+6r=2a_{1}+10r \\
P=2a_{8}=2\cdot(a_{1}+7r)=2a_{1}+14r \\
L\neq P\)

Prawidłową zależność otrzymaliśmy jedynie w trzeciej odpowiedzi.

C

Aby obliczyć różnicę tego ciągu wystarczy obliczyć różnicę między wartościami dwóch wyrazów sąsiednich.
Krok 1. Obliczenie wartości ciągu dla \(n=1\) oraz \(n=2\).
$$a_{1}=-2\cdot1+1=-2+1=-1 \\
a_{2}=-2\cdot2+1=-4+1=-3$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
$$r=a_{2}-a_{1}=-3-(-1)=-2$$

Tak na marginesie, to wyliczona ujemna różnica \(r=-2\) świadczy o tym, że jest to ciąg malejący.

B

Krok 1. Obliczenie wartości \(r\).
Różnicę ciągu arytmetycznego \(r\) obliczymy odejmując od wartości czwartego wyrazu wartość wyrazu trzeciego:
$$r=a_{4}-a_{3} \\
r=14-10 \\
r=4$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Skorzystamy tutaj ze wzoru: \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). Mamy w nim zawartą wartość \(a_{1}\) i jest to nasza jedyna niewiadoma w tym wzorze. Znamy wartość trzeciego wyrazu (oraz czwartego), więc podstawiając do tego wzoru \(n=3\) (lub \(n=4\)) oraz obliczone przed chwilą \(r=4\) otrzymamy:
$$a_{3}=a_{1}+(3-1)r \\
10=a_{1}+2\cdot4 \\
10=a_{1}+8 \\
a_{1}=2$$

C

Wartość pierwszego wyrazu obliczymy korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, w którym znajduje się poszukiwana przez nas wartość \(a_{1}\):
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{20}=a_{1}+(20-1)r \\
17=a_{1}+19\cdot(-2) \\
17=a_{1}-38 \\
a_{1}=55$$

C

W ciągu arytmetycznym trzy kolejne wyrazy tworzą zależność, którą możemy opisać następującym równaniem:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiając nasze dane do tego wzoru otrzymamy:
$$a=\frac{7+49}{2} \\
a=\frac{56}{2} \\
a=28$$

A

Krok 1. Obliczenie wartości różnicy ciągu arytmetycznego \(r\).
Wybierając dwa dowolne kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego bez problemu obliczymy różnicę ciągu.
$$r=a_{2}-a_{1}=-1-2=-3$$

Krok 2. Ustalenie wzoru ogólnego wskazanego ciągu.
Znając wartość pierwszego wyrazu oraz różnicy ciągu możemy ustalić jego wzór w następujący sposób:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \\
a_{n}=2+(n-1)\cdot(-3) \\
a_{n}=2+(-3n)+3 \\
a_{n}=2-3n+3 \\
a_{n}=-3n+5$$

B

Krok 1. Obliczenie wartości trzeciego wyrazu.
Znając wartość drugiego i czwartego wyrazu możemy obliczyć wartość trzeciego wyrazu:
$$a_{3}=\frac{a_{2}+a_{4}}{2} \\
a_{3}=\frac{11+7}{2} \\
a_{3}=\frac{18}{2} \\
a_{3}=9$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego (\(r\)).
Wybieramy dwa kolejne wyrazy i obliczamy różnicę ciągu:
$$r=a_{3}-a_{2} \\
r=9-11 \\
r=-2$$

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
$$a_{1}=a_{2}-r \\
a_{1}=11-(-2) \\
a_{1}=11+2 \\
a_{1}=13$$

Krok 4. Obliczenie wartości czterech pierwszych wyrazów.
Tak naprawdę obliczyliśmy wartości wszystkich czterech kolejnych wyrazów, więc możemy je po prostu do siebie dodać:
$$S_{4}=13+11+9+7=40$$

Ewentualnie moglibyśmy skorzystać z następującego wzoru:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{4}=\frac{a_{1}+a_{4}}{2}\cdot 4 \\
S_{4}=\frac{13+7}{2}\cdot 4 \\
S_{4}=\frac{20}{2}\cdot 4 \\
S_{4}=10\cdot 4 \\
S_{4}=40$$

A

Wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego obliczymy za pomocą wzoru:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Czyli:
$$a_{1}=a_{1}+0r \\
a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{4}=a_{1}+3r \\
a_{6}=a_{1}+5r$$

Porównajmy sobie teraz sumy pierwszego i szóstego wyrazu z sumą wyrazu trzeciego i czwartego:
$$a_{1}+a_{6}=a_{1}+a_{1}+5r=2a_{1}+5r \\
a_{3}+a_{4}=a_{1}+2r+a_{1}+3r=2a_{1}+5r$$

Otrzymaliśmy identyczne wartości, co pozwala nam zapisać równość:
$$a_{1}+a_{6}=a_{3}+a_{4}$$

W związku z tym skoro wiemy, że suma pierwszego i szóstego wyrazu jest równa \(13\), to w takim razie suma trzeciego i czwartego wyrazu będzie także równa \(13\).

A

Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Z treści zadania wiemy, że \(a_{1}=-4\) oraz \(r=2\). Podstawiając do tego \(a_{n}=156\) wyliczymy który wyraz ma pożądaną przez nas wartość:
$$156=-4+(n-1)\cdot2 \\
156=-4+2n-2 \\
156=2n-6 \\
2n=162 \\
n=81$$

B

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając wartości dwóch kolejnych wyrazów ciągu możemy obliczyć różnicę ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=11-5 \\
r=6$$

Krok 2. Wskazanie wyrazu, którego wartość jest równa \(71\).
Po odpowiedziach widzimy, że tak naprawdę poszukujemy wyrazu, którego wartość jest równa \(71\), czyli \(a_{n}=71\). Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
71=5+(n-1)\cdot6 \\
66=6n-6 \\
6n=72 \\
n=12$$

To oznacza, że pożądaną wartość ma dwunasty wyraz tego ciągu, zatem prawidłową odpowiedzią jest \(a_{12}=71\).

\(a_{1}=2\)

Korzystając ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów i podstawiając dane z treści zadania możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu tego ciągu:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{5}=\frac{a_{1}+a_{5}}{2}\cdot5 \\
70=\frac{a_{1}+26}{2}\cdot5 \\
14=\frac{a_{1}+26}{2} \\
28=a_{1}+26 \\
a_{1}=2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie równanie (lub układ równań) korzystając ze wzoruna sumę \(n\)-tych wyrazów i/lub ewentualnie ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego i na tym zakończysz rozwiązywanie zadania albo popełnisz błąd w obliczeniach.
ALBO
• Gdy metodą prób i błędów uda Ci się dojść jaki jest pierwszy wyraz ciągu i nie zaprezentujesz jakichkolwiek obliczeń.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=-1\) oraz \(y=9\)

Krok 1. Obliczenie wartości drugiego (środkowego) wyrazu ciągu.
Jedną z bardziej przydatnych własności ciągów arytmetycznych jest ta, która mówi o tym, że drugi wyraz ciągu będzie średnią arytmetyczną wyrazu pierwszego i trzeciego. Wynika to z poniższej zależności:
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$

W związku z tym:
$$a_{2}=\frac{a_{2-1}+a_{2+1}}{2} \\
a_{2}=\frac{a_{1}+a{3}}{2} \\
y=\frac{x+19}{2}$$

Krok 2. Utworzenie odpowiedniego układu równań.
Równanie obliczone w pierwszym kroku i równanie \(x+y=8\) z treści zadania tworzą układ równań, dzięki któremu bez problemu wyliczymy wartości \(x\) oraz \(y\):
\begin{cases}
y=\frac{x+19}{2} \\
x+y=8
\end{cases}

Krok 3. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej będzie rozwiązać ten układ metodą podstawiania, zwłaszcza że mamy już w pierwszym równaniu wyprowadzoną wartość \(y\). Zatem podstawiając \(y=\frac{x+19}{2}\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$x+\frac{x+19}{2}=8 \quad\bigg/\cdot2 \\
2x+x+19=16 \\
3x=-3 \\
x=-1$$

Do obliczenia pozostała nam jeszcze wartość \(y\) i możemy ją wyliczyć z dowolnie wybranego równania:
$$x+y=8 \\
-1+y=8 \\
y=9$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z własności ciągu wyprowadzisz równanie z dwiema niewiadomymi np. \(y=\frac{x+19}{2}\) (patrz: Krok 2.) albo \(x+2r=19\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(x=\frac{1}{2}\)

Skoro wskazane liczby są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to zajdzie między nimi następująca równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiając dane z treści zadania do powyższego wzoru wyznaczymy poszukiwaną wartość \(x\).
$$6=\frac{2x+1+16x+2}{2} \\
6=\frac{18x+3}{2} \\
12=18x+3 \\
18x=9 \\
x=\frac{1}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie równanie lub układ równań, wykorzystując własności ciągu arytmetycznego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(a_{n}=2n-3\)

Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego.
O analizowanym ciągu wiemy tylko tyle, że jego wzór na sumę \(n\)-tych wyrazów przyjmuje postać \(S_{n}=n^2-2n\). Możemy ten wzór sprytnie wykorzystać do obliczenia wartości pierwszego wyrazu, bo przecież "suma jednego wyrazu" jest równa wartości \(a_{1}\), zatem podstawiając \(n=1\) otrzymamy:
$$a_{1}=S_{1} \\
a_{1}=n^2-2n \\
a_{1}=1^2-2\cdot1 \\
a_{1}=1-2 \\
a_{1}=-1$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości drugiego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Musimy poznać wartość dwóch kolejnych wyrazów, by móc wyliczyć różnicę tego ciągu, która przyda nam się do wyznaczenia wzoru ciągu. Tym razem do wzoru na sumę podstawimy \(n=2\), co w połączeniu ze znajomością wartości pierwszego wyrazu pozwoli nam wyznaczyć wartość drugiego wyrazu.
$$S_{2}=a_{1}+a_{2} \\
2^2-2\cdot2=-1+a_{2} \\
4-4=-1+a_{2} \\
0=-1+a_{2} \\
a_{2}=1$$

Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając wartość dwóch kolejnych wyrazów obliczamy różnicę tego ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=1-(-1) \\
r=2$$

Krok 4. Wyznaczenie wzoru na \(n\)-ty wyraz tego ciągu.
Skorzystamy tutaj ze wzoru ogólnego, do którego podstawimy wyliczone wcześniej dane \(a_{1}=-1\) oraz \(r=2\):
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{n}=-1+(n-1)\cdot2 \\
a_{n}=-1+2n-2 \\
a_{n}=2n-3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że \(a_{1}=-1\) oraz \(a_{2}=1\) oraz \(r=2\) (patrz: Krok 1. oraz 2. oraz 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(S_{1}=-1\) oraz \(S_{2}=0\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(S_{6}=78\)

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wiemy, że \(a_{1}=3\) oraz \(a_{4}=15\). Podstawiając te informacje do wzoru na czwarty wyraz ciągu arytmetycznego możemy obliczyć różnicę ciągu:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{4}=a_{1}+(4-1)r \\
15=3+3r \\
3r=12 \\
r=4$$

Krok 2. Obliczenie sumy sześciu początkowych wyrazów ciągu.
Znając wartość różnicy ciągu oraz wartość pierwszego wyrazu możemy obliczyć sumę dowolnej liczby wyrazów:
$$S_{n}=\frac{2\cdot a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \\
S_{6}=\frac{2\cdot3+(6-1)\cdot4}{2}\cdot6 \\
S_{6}=\frac{6+20}{2}\cdot6 \\
S_{6}=\frac{26}{2}\cdot6 \\
S_{6}=13\cdot6 \\
S_{6}=78$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu arytmetycznego, czyli \(r=4\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(a_{1}=2\) oraz \(r=5\)

Krok 1. Rozpisanie wzorów na piąty i dziesiąty wyraz ciągu.
Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{5}=a_{1}+(5-1)r \\
a_{5}=a_{1}+4r \\
\\
a_{10}=a_{1}+(10-1)r \\
a_{10}=a_{1}+9r$$

Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań oraz wyznaczenie wartości różnicy ciągu.
Zgodnie z treścią zadania:
\begin{cases}
a_{1}+4r=22 \\
a_{1}+9r=47
\end{cases}

Ten układ równań możemy rozwiązać w dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie po prostu zastosować tutaj odejmowanie stronami, dzięki czemu otrzymamy:
$$4r-9r=22-47 \\
-5r=-25 \\
r=5$$

Krok 3. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Podstawiając wyznaczoną przed chwilą różnicę ciągu do wzoru na piąty wyraz ciągu, wyznaczymy wartość pierwszego wyrazu.
$$a_{5}=a_{1}+4r \\
22=a_{1}+4\cdot5 \\
22=a_{1}+20 \\
a_{1}=2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu \(r=5\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz wartość pierwszego wyrazu \(a_{1}=2\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz układ równań z niewiadomymi \(a_{1}\) oraz \(r\), który przykładowo składa się z równań \(a_{1}+4r=22\) oraz \(a_{1}+9r=47\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(a_{1}=567\), \(r=-42\) oraz \(a_{14}=21\)

W tym zadaniu posłużymy się wzorem na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego.
$$S_{n}=\frac{2\cdot a_{1}+(n-1)\cdot r}{2}\cdot n$$

Krok 1. Stworzenie odpowiedniego układu równań.
Pod wypisany przed chwilą wzór podstawmy dane z zadania, tworząc z nich układ równań:
\begin{cases}
S_{4}=2016 \\
S_{12}=2016+2016
\end{cases}

Ustalmy skąd wiemy, że \(S_{12}=2016+2016\). Z treści zadania wynika, że suma pierwszych czterech wyrazów jest równa \(2016\) i suma od piątego do dwunastego wyrazu jest także równa \(2016\). Suma wszystkich dwunastu pierwszych wyrazów jest więc równa \(2016+2016=4032\).

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań i wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego, czyli \(r\).
\begin{cases}
2016=\frac{2\cdot a_{1}+(4-1)\cdot r}{2}\cdot4 \\
4032=\frac{2\cdot a_{1}+(12-1)\cdot r}{2}\cdot12
\end{cases}\begin{cases}
2016=\frac{2\cdot a_{1}+3r}{2}\cdot4 \\
4032=\frac{2\cdot a_{1}+11r}{2}\cdot12
\end{cases}\begin{cases}
2016=4\cdot a_{1}+6r \quad\bigg/\cdot(-3) \\
4032=12\cdot a_{1}+66r
\end{cases}\begin{cases}
-6048=-12\cdot a_{1}-18r \\
4032=12\cdot a_{1}+66r
\end{cases}

Dzięki sprytnemu mnożeniu przez \(-3\) pierwszego równania w tym układzie możemy teraz dodać te równania stronami. Oczywiście do rozwiązania tego układu można było też użyć metody podstawiania. Po dodaniu od siebie stron otrzymamy:
$$-2016=48r \\
r=-42$$

Krok 3. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{1}\).
Podstawiając \(r=-42\) do jednego z równań wyznaczymy wartość \(a_{1}\):
$$2016=4\cdot a_{1}+6r \\
2016=4\cdot a_{1}+6\cdot(-42) \\
2016=4\cdot a_{1}-252 \\
2268=4\cdot a_{1} \\
a_{1}=567$$

Krok 4. Obliczenie liczby wszystkich wyrazów dodatnich tego ciągu.
Znając różnicę ciągu arytmetycznego oraz wartość pierwszego wyrazu możemy utworzyć prostą nierówność w której użyjemy wzory na \(n\)-ty wyraz ciągu. Dzięki niej dowiemy się ile wyrazów dodatnich ma ten ciąg, a ostatni wyraz będzie jednocześnie tym najmniejszym (bo skoro różnica wyszła ujemna to jest to ciąg malejący).
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$

Zatem:
$$a_{1}+(n-1)\cdot r\gt0 \\
567+(n-1)\cdot(-42)\gt0 \\
567+(-42n+42)\gt0 \\
609-42n\gt0 \\
-42n\gt-609 \\
n\lt14\frac{1}{2}$$

(Pamiętaj o zmianie znaku podczas dzielenia przez liczbę ujemną!)

Skoro \(n\) musi być mniejsze od \(14\frac{1}{2}\), to nasz ciąg ma \(14\) dodatnich wyrazów, a ostatnim (i tym samym najmniejszym) dodatnim wyrazem tego malejącego ciągu będzie \(a_{14}\).

Krok 5. Obliczenie wartości czternastego wyrazu ciągu.
Wartość najmniejszego wyrazu tego ciągu jest równa:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \\
a_{14}=567+(14-1)\cdot(-42) \\
a_{14}=567+13\cdot(-42) \\
a_{14}=567-546 \\
a_{14}=21$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(S_{12}=4032\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wykorzystasz wzór na sumę n-początkowych wyrazów i zapiszesz w związku z tym poprawne równanie np. \(\frac{a_{1}+a_{4}}{2}\cdot4=2016\) albo \(\frac{a_{5}+a_{12}}{2}\cdot8=2016\) albo \(4a_{1}+6r=2016\) albo \(8a_{1}+60r=2016\) itd.
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór na jeden z wyrazów ciągu np. \(a_{2}=a_{1}+r\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz dwa równania korzystając z sum wyrazów np. \(\frac{a_{1}+a_{4}}{2}\cdot4=2016\) oraz \(\frac{a_{5}+a_{12}}{2}\cdot8=2016\) i zapiszesz, że np. \(a_{4}=a_{1}+3r\).
3 pkt
• Gdy doprowadzisz równania do takiej postaci, w której występują jedynie niewiadome \(a_{1}\) oraz \(r\) np. \(2016=\frac{2\cdot a_{1}+3r}{2}\cdot4\) oraz \(4032=\frac{2\cdot a_{1}+(12-1)\cdot r}{2}\cdot12\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu oraz wartość pierwszego wyrazu: \(r=-42\) oraz \(a_{1}=567\) (patrz: Krok 2. oraz Krok 3.).
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale otrzymany wynik jest niepoprawny w wyniku jakiegoś błędu rachunkowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(S_{671}=676368\)

Krok 1. Wyznaczenie liczby dodatnich wyrazów ciągu \((a_{n})\).
Aby dodać do siebie wartości wszystkich wyrazów dodatnich musimy najpierw ustalić ile ich tak właściwie jest w tym ciągu. Przykładowo gdy \(n=1\), to wyraz jest dodatni i jest równy \(a_{1}=2016-3=2013\). Jednak gdy \(n=1000\) to wyraz jest już ujemny i wynosi \(a_{1000}2016-3000=-984\). Aby obliczyć ile jest wyrazów dodatnich wystarczy rozwiązać następującą nierówność:
$$a_{n}\gt0 \\
2016-3n\gt0 \\
-3n\gt-2016 \\
-n\gt-672 \\
n\lt672$$

Wiemy, że w ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, czyli skoro \(n\lt672\) to będziemy mieli \(671\) wyrazów dodatnich.

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów dodatnich.
Sumę wszystkich wyrazów obliczymy w następujący sposób:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{671}=\frac{a_{1}+a_{671}}{2}\cdot671 \\
S_{671}=\frac{(2016-3\cdot1)+(2016-3\cdot671)}{2}\cdot671 \\
S_{671}=\frac{2013+3}{2}\cdot671 \\
S_{671}=\frac{2016}{2}\cdot671 \\
S_{671}=1008\cdot671 \\
S_{671}=676368$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie \(2016-3n\gt0\) (patrz: Krok 1.)
2 pkt
• Gdy obliczysz że jest \(671\) dodatnich wyrazów (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz równanie \(S_{671}=\frac{a_{1}+a_{671}}{2}\cdot671\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(42\) wyrazy

Z treści zadania wynika, że \(a_{1}=7\), \(a_{n}=89\) oraz \(S_{n}=2016\). Podstawiając te dane do wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymamy:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
2016=\frac{7+89}{2}\cdot n \\
2016=\frac{96}{2}\cdot n \\
2016=48n \\
n=42$$

To oznacza, że nasz ciąg ma \(42\) wyrazy.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą \(2016=\frac{7+89}{2}\cdot n\).
ALBO
• Gdy zapiszesz układ równań z dwoma niewiadomymi np. \(7+(n-1)r=89\) oraz \(2016=\frac{2\cdot7+(n-1)r}{2}\cdot n\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(a_{16}-a_{13}=9\)

Krok 1. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciąg arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+r \\
a_{3}=a_{1}+2r$$

Skoro \(a_{1}=8\) oraz suma trzech początkowych wyrazów jest równa \(S_{3}=33\), to:
$$S_{3}=33 \\
a_{1}+a_{2}+a_{3}=33 \\
a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=33 \\
3\cdot8+3r=33 \\
24+3r=33 \\
3r=9 \\
r=3$$

Krok 2. Obliczenie wartości różnicy \(a_{16}-a_{13}\).
$$a_{16}=a_{1}+15r \\
a_{13}=a_{1}+12r$$

Zatem:
$$a_{16}-a_{13}=a_{1}+15r-(a_{1}+12r)=3r=3\cdot3=9$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu \(r=3\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(a_{1}+r=11\) lub \(a_{2}=11\) lub \(a_{16}-a_{13}=3r\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

C

Podstawiając \(n=2\) do wzoru na sumę wyrazów obliczymy sumę dwóch pierwszych wyrazów, a podstawiając \(n=1\) otrzymamy tak naprawdę wartość pierwszego wyrazu. Różnica między tymi wynikami będzie więc odpowiadać wartości drugiego wyrazu tego ciągu. Zatem:
$$a_{2}=S_{2}-S_{1} \\
a_{2}=2\cdot2^2+2-(2\cdot1^2+1) \\
a_{2}=2\cdot4+2-(2\cdot1+1) \\
a_{2}=10-3 \\
a_{2}=7$$