Ciąg arytmetyczny - zadania
Zadanie 3. (1pkt) W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) mamy: \(a_{2}=5\) i \(a_{4}=11\). Oblicz \(a_{5}\).
A) \(8\)
B) \(14\)
C) \(17\)
D) \(6\)
Wyjaśnienie:
Zanim zaczniemy obliczanie, to już na samym wstępie warto zauważyć, że możemy odrzucić odpowiedzi \(A\) oraz \(D\). Dlaczego? Widać wyraźnie, że jest to ciąg arytmetyczny rosnący, więc piąty wyraz nie może być mniejszy niż czwarty. Tak prawdę mówiąc można byłoby to zadanie obliczyć nawet na logikę, bo mamy dość proste liczby, ale obliczmy to sobie wszystko dokładnie, bo nie zawsze będzie można tak łatwo dojść do rozwiązania:
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Każdy wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać jako:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
To oznacza, że:
$$a_{2}=a_{1}+(2-1)r\\
a_{2}=a_{1}+r \\
\text{oraz} \\
a_{4}=a_{1}+(4-1)r \\
a_{4}=a_{1}+3r$$
Z racji tego, że znamy wartości drugiego i czwartego wyrazu to możemy stworzyć prosty układ równań z którego wyznaczymy wartość różnicy ciągu.
\begin{cases}
a_{1}+r=5 \\
a_{1}+3r=11
\end{cases}
Odejmując to równanie stronami otrzymamy:
$$-2r=-6 \\
r=3$$
Krok 2. Obliczenie wartości piątego wyrazu tego ciągu.
Skoro czwarty wyraz ciągu jest równy \(11\), a każdy kolejny jest o \(3\) większy (bo \(r=3\)), to piąty wyraz tego ciągu będzie równy \(11+3=14\).
Zadanie 15. (2pkt) Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(26\), a suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(70\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Wyjaśnienie:
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów i podstawiając dane z treści zadania możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu tego ciągu:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{5}=\frac{a_{1}+a_{5}}{2}\cdot5 \\
70=\frac{a_{1}+26}{2}\cdot5 \\
14=\frac{a_{1}+26}{2} \\
28=a_{1}+26 \\
a_{1}=2$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie równanie (lub układ równań) korzystając ze wzoruna sumę \(n\)-tych wyrazów i/lub ewentualnie ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego i na tym zakończysz rozwiązywanie zadania albo popełnisz błąd w obliczeniach.
ALBO
• Gdy metodą prób i błędów uda Ci się dojść jaki jest pierwszy wyraz ciągu i nie zaprezentujesz jakichkolwiek obliczeń.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 16. (2pkt) Liczby \(x\), \(y\), \(19\) tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny, przy czym \(x+y=8\). Oblicz \(x\) i \(y\).
Odpowiedź
\(x=-1\) oraz \(y=9\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie wartości drugiego (środkowego) wyrazu ciągu.
Jedną z bardziej przydatnych własności ciągów arytmetycznych jest ta, która mówi o tym, że drugi wyraz ciągu będzie średnią arytmetyczną wyrazu pierwszego i trzeciego. Wynika to z poniższej zależności:
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$
W związku z tym:
$$a_{2}=\frac{a_{2-1}+a_{2+1}}{2} \\
a_{2}=\frac{a_{1}+a{3}}{2} \\
y=\frac{x+19}{2}$$
Krok 2. Utworzenie odpowiedniego układu równań.
Równanie obliczone w pierwszym kroku i równanie \(x+y=8\) z treści zadania tworzą układ równań, dzięki któremu bez problemu wyliczymy wartości \(x\) oraz \(y\):
\begin{cases}
y=\frac{x+19}{2} \\
x+y=8
\end{cases}
Krok 3. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej będzie rozwiązać ten układ metodą podstawiania, zwłaszcza że mamy już w pierwszym równaniu wyprowadzoną wartość \(y\). Zatem podstawiając \(y=\frac{x+19}{2}\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$x+\frac{x+19}{2}=8 \quad\bigg/\cdot2 \\
2x+x+19=16 \\
3x=-3 \\
x=-1$$
Do obliczenia pozostała nam jeszcze wartość \(y\) i możemy ją wyliczyć z dowolnie wybranego równania:
$$x+y=8 \\
-1+y=8 \\
y=9$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z własności ciągu wyprowadzisz równanie z dwiema niewiadomymi np. \(y=\frac{x+19}{2}\) (patrz: Krok 2.) albo \(x+2r=19\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 17. (2pkt) Liczby \(2x+1\), \(6\), \(16x+2\) są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz \(x\).
Odpowiedź
\(x=\frac{1}{2}\)
Wyjaśnienie:
Skoro wskazane liczby są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to zajdzie między nimi następująca równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
Podstawiając dane z treści zadania do powyższego wzoru wyznaczymy poszukiwaną wartość \(x\).
$$6=\frac{2x+1+16x+2}{2} \\
6=\frac{18x+3}{2} \\
12=18x+3 \\
18x=9 \\
x=\frac{1}{2}$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie równanie lub układ równań, wykorzystując własności ciągu arytmetycznego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 18. (2pkt) Suma \(S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\) początkowych \(n\) wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego \((a_{n})\) jest określona wzorem \(S_{n}=n^2-2n\). Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego.
O analizowanym ciągu wiemy tylko tyle, że jego wzór na sumę \(n\)-tych wyrazów przyjmuje postać \(S_{n}=n^2-2n\). Możemy ten wzór sprytnie wykorzystać do obliczenia wartości pierwszego wyrazu, bo przecież "suma jednego wyrazu" jest równa wartości \(a_{1}\), zatem podstawiając \(n=1\) otrzymamy:
$$a_{1}=S_{1} \\
a_{1}=n^2-2n \\
a_{1}=1^2-2\cdot1 \\
a_{1}=1-2 \\
a_{1}=-1$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości drugiego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Musimy poznać wartość dwóch kolejnych wyrazów, by móc wyliczyć różnicę tego ciągu, która przyda nam się do wyznaczenia wzoru ciągu. Tym razem do wzoru na sumę podstawimy \(n=2\), co w połączeniu ze znajomością wartości pierwszego wyrazu pozwoli nam wyznaczyć wartość drugiego wyrazu.
$$S_{2}=a_{1}+a_{2} \\
2^2-2\cdot2=-1+a_{2} \\
4-4=-1+a_{2} \\
0=-1+a_{2} \\
a_{2}=1$$
Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając wartość dwóch kolejnych wyrazów obliczamy różnicę tego ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=1-(-1) \\
r=2$$
Krok 4. Wyznaczenie wzoru na \(n\)-ty wyraz tego ciągu.
Skorzystamy tutaj ze wzoru ogólnego, do którego podstawimy wyliczone wcześniej dane \(a_{1}=-1\) oraz \(r=2\):
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{n}=-1+(n-1)\cdot2 \\
a_{n}=-1+2n-2 \\
a_{n}=2n-3$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że \(a_{1}=-1\) oraz \(a_{2}=1\) oraz \(r=2\) (patrz: Krok 1. oraz 2. oraz 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(S_{1}=-1\) oraz \(S_{2}=0\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 19. (2pkt) Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(3\), czwarty wyraz tego ciągu jest równy \(15\). Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wiemy, że \(a_{1}=3\) oraz \(a_{4}=15\). Podstawiając te informacje do wzoru na czwarty wyraz ciągu arytmetycznego możemy obliczyć różnicę ciągu:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{4}=a_{1}+(4-1)r \\
15=3+3r \\
3r=12 \\
r=4$$
Krok 2. Obliczenie sumy sześciu początkowych wyrazów ciągu.
Znając wartość różnicy ciągu oraz wartość pierwszego wyrazu możemy obliczyć sumę dowolnej liczby wyrazów:
$$S_{n}=\frac{2\cdot a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \\
S_{6}=\frac{2\cdot3+(6-1)\cdot4}{2}\cdot6 \\
S_{6}=\frac{6+20}{2}\cdot6 \\
S_{6}=\frac{26}{2}\cdot6 \\
S_{6}=13\cdot6 \\
S_{6}=78$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu arytmetycznego, czyli \(r=4\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 20. (2pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony dla \(n\ge1\), w którym \(a_{5}=22\) oraz \(a_{10}=47\). Oblicz pierwszy wyraz \(a_{1}\) i różnicę \(r\) tego ciągu.
Odpowiedź
\(a_{1}=2\) oraz \(r=5\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Rozpisanie wzorów na piąty i dziesiąty wyraz ciągu.
Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{5}=a_{1}+(5-1)r \\
a_{5}=a_{1}+4r \\
\\
a_{10}=a_{1}+(10-1)r \\
a_{10}=a_{1}+9r$$
Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań oraz wyznaczenie wartości różnicy ciągu.
Zgodnie z treścią zadania:
\begin{cases}
a_{1}+4r=22 \\
a_{1}+9r=47
\end{cases}
Ten układ równań możemy rozwiązać w dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie po prostu zastosować tutaj odejmowanie stronami, dzięki czemu otrzymamy:
$$4r-9r=22-47 \\
-5r=-25 \\
r=5$$
Krok 3. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Podstawiając wyznaczoną przed chwilą różnicę ciągu do wzoru na piąty wyraz ciągu, wyznaczymy wartość pierwszego wyrazu.
$$a_{5}=a_{1}+4r \\
22=a_{1}+4\cdot5 \\
22=a_{1}+20 \\
a_{1}=2$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu \(r=5\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz wartość pierwszego wyrazu \(a_{1}=2\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz układ równań z niewiadomymi \(a_{1}\) oraz \(r\), który przykładowo składa się z równań \(a_{1}+4r=22\) oraz \(a_{1}+9r=47\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Zadanie 21. (5pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), w którym \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=2016\) oraz \(a_{5}+a_{6}+a_{7}+...+a_{12}=2016\). Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu \((a_{n})\).
Odpowiedź
\(a_{1}=567\), \(r=-42\) oraz \(a_{14}=21\)
Wyjaśnienie:
W tym zadaniu posłużymy się wzorem na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego.
$$S_{n}=\frac{2\cdot a_{1}+(n-1)\cdot r}{2}\cdot n$$
Krok 1. Stworzenie odpowiedniego układu równań.
Pod wypisany przed chwilą wzór podstawmy dane z zadania, tworząc z nich układ równań:
\begin{cases}
S_{4}=2016 \\
S_{12}=2016+2016
\end{cases}
Ustalmy skąd wiemy, że \(S_{12}=2016+2016\). Z treści zadania wynika, że suma pierwszych czterech wyrazów jest równa \(2016\) i suma od piątego do dwunastego wyrazu jest także równa \(2016\). Suma wszystkich dwunastu pierwszych wyrazów jest więc równa \(2016+2016=4032\).
Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań i wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego, czyli \(r\).
\begin{cases}
2016=\frac{2\cdot a_{1}+(4-1)\cdot r}{2}\cdot4 \\
4032=\frac{2\cdot a_{1}+(12-1)\cdot r}{2}\cdot12
\end{cases}\begin{cases}
2016=\frac{2\cdot a_{1}+3r}{2}\cdot4 \\
4032=\frac{2\cdot a_{1}+11r}{2}\cdot12
\end{cases}\begin{cases}
2016=4\cdot a_{1}+6r \quad\bigg/\cdot(-3) \\
4032=12\cdot a_{1}+66r
\end{cases}\begin{cases}
-6048=-12\cdot a_{1}-18r \\
4032=12\cdot a_{1}+66r
\end{cases}
Dzięki sprytnemu mnożeniu przez \(-3\) pierwszego równania w tym układzie możemy teraz dodać te równania stronami. Oczywiście do rozwiązania tego układu można było też użyć metody podstawiania. Po dodaniu od siebie stron otrzymamy:
$$-2016=48r \\
r=-42$$
Krok 3. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{1}\).
Podstawiając \(r=-42\) do jednego z równań wyznaczymy wartość \(a_{1}\):
$$2016=4\cdot a_{1}+6r \\
2016=4\cdot a_{1}+6\cdot(-42) \\
2016=4\cdot a_{1}-252 \\
2268=4\cdot a_{1} \\
a_{1}=567$$
Krok 4. Obliczenie liczby wszystkich wyrazów dodatnich tego ciągu.
Znając różnicę ciągu arytmetycznego oraz wartość pierwszego wyrazu możemy utworzyć prostą nierówność w której użyjemy wzory na \(n\)-ty wyraz ciągu. Dzięki niej dowiemy się ile wyrazów dodatnich ma ten ciąg, a ostatni wyraz będzie jednocześnie tym najmniejszym (bo skoro różnica wyszła ujemna to jest to ciąg malejący).
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$
Zatem:
$$a_{1}+(n-1)\cdot r\gt0 \\
567+(n-1)\cdot(-42)\gt0 \\
567+(-42n+42)\gt0 \\
609-42n\gt0 \\
-42n\gt-609 \\
n\lt14\frac{1}{2}$$
(Pamiętaj o zmianie znaku podczas dzielenia przez liczbę ujemną!)
Skoro \(n\) musi być mniejsze od \(14\frac{1}{2}\), to nasz ciąg ma \(14\) dodatnich wyrazów, a ostatnim (i tym samym najmniejszym) dodatnim wyrazem tego malejącego ciągu będzie \(a_{14}\).
Krok 5. Obliczenie wartości czternastego wyrazu ciągu.
Wartość najmniejszego wyrazu tego ciągu jest równa:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \\
a_{14}=567+(14-1)\cdot(-42) \\
a_{14}=567+13\cdot(-42) \\
a_{14}=567-546 \\
a_{14}=21$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(S_{12}=4032\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wykorzystasz wzór na sumę n-początkowych wyrazów i zapiszesz w związku z tym poprawne równanie np. \(\frac{a_{1}+a_{4}}{2}\cdot4=2016\) albo \(\frac{a_{5}+a_{12}}{2}\cdot8=2016\) albo \(4a_{1}+6r=2016\) albo \(8a_{1}+60r=2016\) itd.
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór na jeden z wyrazów ciągu np. \(a_{2}=a_{1}+r\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz dwa równania korzystając z sum wyrazów np. \(\frac{a_{1}+a_{4}}{2}\cdot4=2016\) oraz \(\frac{a_{5}+a_{12}}{2}\cdot8=2016\) i zapiszesz, że np. \(a_{4}=a_{1}+3r\).
3 pkt
• Gdy doprowadzisz równania do takiej postaci, w której występują jedynie niewiadome \(a_{1}\) oraz \(r\) np. \(2016=\frac{2\cdot a_{1}+3r}{2}\cdot4\) oraz \(4032=\frac{2\cdot a_{1}+(12-1)\cdot r}{2}\cdot12\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu oraz wartość pierwszego wyrazu: \(r=-42\) oraz \(a_{1}=567\) (patrz: Krok 2. oraz Krok 3.).
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale otrzymany wynik jest niepoprawny w wyniku jakiegoś błędu rachunkowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 22. (4pkt) Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony jest wzorem \(a_{n}=2016-3n\), dla \(n\ge1\). Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.
Odpowiedź
\(S_{671}=676368\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wyznaczenie liczby dodatnich wyrazów ciągu \((a_{n})\).
Aby dodać do siebie wartości wszystkich wyrazów dodatnich musimy najpierw ustalić ile ich tak właściwie jest w tym ciągu. Przykładowo gdy \(n=1\), to wyraz jest dodatni i jest równy \(a_{1}=2016-3=2013\). Jednak gdy \(n=1000\) to wyraz jest już ujemny i wynosi \(a_{1000}2016-3000=-984\). Aby obliczyć ile jest wyrazów dodatnich wystarczy rozwiązać następującą nierówność:
$$a_{n}\gt0 \\
2016-3n\gt0 \\
-3n\gt-2016 \\
-n\gt-672 \\
n\lt672$$
Wiemy, że w ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, czyli skoro \(n\lt672\) to będziemy mieli \(671\) wyrazów dodatnich.
Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów dodatnich.
Sumę wszystkich wyrazów obliczymy w następujący sposób:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{671}=\frac{a_{1}+a_{671}}{2}\cdot671 \\
S_{671}=\frac{(2016-3\cdot1)+(2016-3\cdot671)}{2}\cdot671 \\
S_{671}=\frac{2013+3}{2}\cdot671 \\
S_{671}=\frac{2016}{2}\cdot671 \\
S_{671}=1008\cdot671 \\
S_{671}=676368$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie \(2016-3n\gt0\) (patrz: Krok 1.)
2 pkt
• Gdy obliczysz że jest \(671\) dodatnich wyrazów (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz równanie \(S_{671}=\frac{a_{1}+a_{671}}{2}\cdot671\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 23. (2pkt) W skończonym ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) pierwszy wyraz \(a_{1}\) jest równy \(7\) oraz ostatni wyraz \(a_{n}\) jest równy \(89\). Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(2016\). Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.
Wyjaśnienie:
Z treści zadania wynika, że \(a_{1}=7\), \(a_{n}=89\) oraz \(S_{n}=2016\). Podstawiając te dane do wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymamy:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
2016=\frac{7+89}{2}\cdot n \\
2016=\frac{96}{2}\cdot n \\
2016=48n \\
n=42$$
To oznacza, że nasz ciąg ma \(42\) wyrazy.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą \(2016=\frac{7+89}{2}\cdot n\).
ALBO
• Gdy zapiszesz układ równań z dwoma niewiadomymi np. \(7+(n-1)r=89\) oraz \(2016=\frac{2\cdot7+(n-1)r}{2}\cdot n\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 24. (2pkt) W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), dane są: wyraz \(a_{1}=8\) i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu \(S_{3}=33\). Oblicz różnicę: \(a_{16}-a_{13}\).
Odpowiedź
\(a_{16}-a_{13}=9\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciąg arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+r \\
a_{3}=a_{1}+2r$$
Skoro \(a_{1}=8\) oraz suma trzech początkowych wyrazów jest równa \(S_{3}=33\), to:
$$S_{3}=33 \\
a_{1}+a_{2}+a_{3}=33 \\
a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=33 \\
3\cdot8+3r=33 \\
24+3r=33 \\
3r=9 \\
r=3$$
Krok 2. Obliczenie wartości różnicy \(a_{16}-a_{13}\).
$$a_{16}=a_{1}+15r \\
a_{13}=a_{1}+12r$$
Zatem:
$$a_{16}-a_{13}=a_{1}+15r-(a_{1}+12r)=3r=3\cdot3=9$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu \(r=3\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(a_{1}+r=11\) lub \(a_{2}=11\) lub \(a_{16}-a_{13}=3r\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Super zadania.
Pomaga w przygotowaniu się do maturki
Uczę matematyki od 19 lat. Jestem zafascynowany genialnym objaśnieniem tych zadań. Wspaniale uczą działań na ciągach arytmetycznych. Polecę je moim uczniom.
Wielkie dzięki za tak pozytywny komentarz! :)
Bardzo dobry materiał do przypomnienia ciągów polecam
Kozaczek zadanka <3
Rewelacyjnie wytłumaczone. Wszystkie zadania zrozumiałam!! Najlepsza stronka!!
Czy w zadaniu 21 nie powinno być najmniejsze a13=21?
Ale czemu a13? Wiemy, że n musi być mniejsze niż 14,5, więc nas interesuje a14, stąd też później podstawiamy n=14.
Tak na marginesie, to jak podstawisz n=13 to nie wyjdzie Ci 21 ;)
super zadania podoba mi się sposób z wyjaśnieniami, który był pomocny dzięki :-)
Zadania – super. Świetne wyjaśnienia. Dzięki.