Ciąg arytmetyczny an określony jest wzorem an=2016-3n, dla n≥1. Oblicz sumę

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ określony jest wzorem $a_{n}=2016-3n$, dla $n\ge1$. Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

Rozwiązanie:

Krok 1. Wyznaczenie liczby dodatnich wyrazów ciągu $(a_{n})$.

Aby dodać do siebie wartości wszystkich wyrazów dodatnich musimy najpierw ustalić ile ich tak właściwie jest w tym ciągu. Przykładowo gdy $n=1$, to wyraz jest dodatni i jest równy $a_{1}=2016-3=2013$. Jednak gdy $n=1000$ to wyraz jest już ujemny i wynosi $a_{1000}2016-3000=-984$. Aby obliczyć ile jest wyrazów dodatnich wystarczy rozwiązać następującą nierówność:
$$a_{n}\gt0 \\
2016-3n\gt0 \\
-3n\gt-2016 \\
-n\gt-672 \\
n\lt672$$

Wiemy, że w ciągach $n$ musi być liczbą naturalną, czyli skoro $n\lt672$ to będziemy mieli $671$ wyrazów dodatnich.

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów dodatnich.

Sumę wszystkich wyrazów obliczymy w następujący sposób:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{671}=\frac{a_{1}+a_{671}}{2}\cdot671 \\
S_{671}=\frac{(2016-3\cdot1)+(2016-3\cdot671)}{2}\cdot671 \\
S_{671}=\frac{2013+3}{2}\cdot671 \\
S_{671}=\frac{2016}{2}\cdot671 \\
S_{671}=1008\cdot671 \\
S_{671}=676368$$

Odpowiedź:

$S_{671}=676368$

Zadania

Ciąg arytmetyczny an określony jest wzorem an=2016-3n, dla n≥1. Oblicz sumę

Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony jest wzorem \(a_{n}=2016-3n\), dla \(n\ge1\). Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.