Ciąg arytmetyczny an jest określony wzorem an=2n-1 dla n≥1. Suma stu początkowych kolejnych wyrazów

Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2n-1\) dla \(n\ge1\). Suma stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Do obliczenia sumy stu początkowych wyrazów skorzystamy ze wzoru:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Widzimy wyraźnie, że brakuje nam tutaj znajomości wartości pierwszego wyrazu \(a_{1}\) oraz różnicy ciągu \(r\). Zacznijmy od wyznaczenia \(a_{1}\). Aby wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu musimy po prostu do wzoru ciągu podstawić \(n=1\). Otrzymamy wtedy:
$$a_{n}=2n-1 \\
a_{1}=2\cdot1-1 \\
a_{1}=2-1 \\
a_{1}=1$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Różnicę ciągu możemy tak naprawdę odczytać wprost ze wzoru - jest to liczba znajdująca się przed \(n\), czyli w tym przypadku \(r=2\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to wystarczy obliczyć wartość drugiego wyrazu i odjąć od niej wartość wyrazu pierwszego (którą już znamy). Zatem:
$$a_{n}=2n-1 \\
a_{2}=2\cdot2-1 \\
a_{2}=4-1 \\
a_{2}=3$$

W związku z tym:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=3-1 \\
r=2$$

Krok 3. Obliczenie sumy stu początkowych wyrazów ciągu.
Teraz podstawiając do wzoru \(a_{1}=1\), \(r=2\) oraz \(n=100\) (bo mamy obliczyć sumę stu wyrazów) możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \\
S_{100}=\frac{2\cdot1+(100-1)\cdot2}{2}\cdot100 \\
S_{100}=\frac{2+99\cdot2}{2}\cdot100 \\
S_{100}=\frac{2+198}{2}\cdot100 \\
S_{100}=\frac{200}{2}\cdot100 \\
S_{100}=100\cdot100 \\
S_{100}=10000$$

Odpowiedź

C

Dodaj komentarz