Ciąg an jest określony wzorem an=4(n+1)(n-10) dla n≥1. Ile wyrazów ujemnych ma ten ciąg?

Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=4(n+1)(n-10)\) dla \(n\ge1\). Ile wyrazów ujemnych ma ten ciąg?

Rozwiązanie

Aby dowiedzieć się ile wyrazów ujemnych ma wskazany ciąg musimy rozwiązać następującą nierówność:
$$4(n+1)(n-10)\lt0 \quad\bigg/:4 \\
(n+1)(n-10)\lt0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałej nierówności kwadratowej.
Otrzymaliśmy nierówność kwadratową zapisaną w postaci iloczynowej. Rozwiązywanie nierówności rozpoczynamy od wyznaczenia miejsc zerowych, czyli sprawdzenia kiedy \((n+1)(n-10)=0\). Zgodnie z własnościami postaci iloczynowej możemy zapisać, że:
$$n+1=0 \quad\lor\quad n-10=0 \\
n=-1 \quad\lor\quad n=10$$

Zaznaczamy na osi nasze wyznaczone miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności mamy znak \(\lt\)) i szkicujemy parabolę. Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, zatem:
matura z matematyki

Teraz musimy odczytać rozwiązania naszej nierówności. Interesują nas wartości mniejsze od zera, czyli wszystko to, co znalazło się pod osią. Możemy więc zapisać, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \(n\in(-1;10)\).

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Ze wszystkich dotychczasowych obliczeń wyszło nam, że \(4(n+1)(n-10)\) jest mniejsze od zera dla każdego \(n\), które jest większe od \(-1\) i mniejsze od \(10\). W przypadku ciągów \(n\) musi być dodatnią liczbą naturalną. Musimy więc sprawdzić jakie liczby naturalne mieszczą się w wyznaczonym przez nas przedziale. Takimi liczbami będą: \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\). Pasuje nam \(9\) liczb, zatem ten ciąg ma \(9\) wyrazów ujemnych.

Odpowiedź

A

Dodaj komentarz