Ciąg (9, x, 19) jest arytmetyczny, a ciąg (x, 42, y, z) jest geometryczny. Oblicz x, y oraz z

Ciąg \((9,x,19)\) jest arytmetyczny, a ciąg \((x,42,y,z)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\), \(y\) oraz \(z\).

Rozwiązanie:
Krok 1. Wyznaczenie wartości wyrazu \(x\).

Skorzystamy z ciągu arytmetycznego i z reguły, która mówi że drugi wyraz ciągu jest wynikiem średniej arytmetycznej pierwszego i trzeciego wyrazu. Całość możemy opisać wzorem:
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \\
a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2} \\
x=\frac{9+19}{2} \\
x=\frac{28}{2} \\
x=14$$

Krok 2. Obliczenie wartości ilorazu \(q\) ciągu geometrycznego.

Podstawiając \(x=14\) do ciągu geometrycznego otrzymamy ciąg \((14,42,y,z)\). Znamy więc wartości dwóch wyrazów stojących obok siebie, a to z kolei pozwoli nam wyznaczyć wartość \(q\):
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{42}{14} \\
q=3$$

Krok 3. Obliczenie wartości wyrazów \(y\) oraz \(z\).

Znając wartość \(q\) bez problemu wyliczymy już dowolny wyraz tego ciągu geometrycznego np. korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu: \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\). Zatem:
$$a_{3}=a_{1}\cdot 3^{3-1} \\
y=14\cdot3^2 \\
y=14\cdot9=126 \\
\text{oraz} \\
a_{4}=a_{1}\cdot 3^{4-1} \\
z=14\cdot3^3 \\
z=14\cdot27=378$$

Chcąc wyznaczyć np. trzeci wyraz ciągu geometrycznego mogliśmy też po prostu wymnożyć wartość drugiego wyrazu, czyli \(42\) przez iloraz, czyli przez \(3\), otrzymując w ten sposób \(y=126\). Analogicznie obliczylibyśmy czwarty wyraz, mnożąc \(126\) przez \(3\) i otrzymując w ten sposób \(z=378\).

Otrzymaliśmy w ten sposób następujące wyniki: \(x=14\), \(y=126\) oraz \(z=378\).

Odpowiedź:

\(x=14\), \(y=126\) oraz \(z=378\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.