Rozwiązanie
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca relacja:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$(3x+6)^2=4x\cdot9x \\
9x^2+36x+36=36x^2 \\
-27x^2+36x+36=0 \\
-3x^2+4x+4=0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia miejsc zerowych.
Współczynniki: \(a=-3,\;b=4,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot(-3)\cdot4=16-(-48)=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-8}{2\cdot(-3)}=\frac{-12}{-6}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+8}{2\cdot(-3)}=\frac{4}{-6}=-\frac{2}{3}$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy dwa różne wyniki, ale czy oba są poprawne? Aby to ustalić, sprawdźmy co się stanie, gdy podstawimy do wyrazów ciągu wartości \(x=2\) oraz \(x=-\frac{2}{3}\).
Dla \(x=2\):
\(a_{1}=4\cdot2=8 \\
a_{2}=3\cdot2+6=12 \\
a_{3}=9\cdot2=18\)
Dla \(x=-\frac{2}{3}\):
\(a_{1}=4\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{8}{3} \\
a_{2}=3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)+6=4 \\
a_{3}=9\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-6\)
Widzimy, że nasz ciąg jest rosnący tylko dla \(x=2\).
Krok 4. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Celem naszego zadania jest obliczenie ilorazu ciągu. Skoro tak, to możemy zapisać, że:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{12}{8} \\
q=\frac{3}{2}$$
