Boki trójkąta mają długości \(20\) i \(12\), a kąt między tymi bokami ma miarę \(120°\). Pole tego trójkąta jest równe:
\(60\)
\(120\)
\(60\sqrt{3}\)
\(120\sqrt{3}\)
Rozwiązanie:
W tym zadaniu wykorzystamy wzór na pole trójkąta:
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sinα$$
Wszystkie dane mamy podane w treści zadania, jedyną trudnością może być tutaj ustalenie wartości \(sin120°\), bo w tablicach trygonometrycznych nie mamy podanych wartości dla kątów rozwartych.
Krok 1. Ustalenie wartości \(sin120°\).
Skorzystamy tutaj ze wzorów redukcyjnych, np. \(sin(180°-α)=sinα\). Z tego wzoru wynika, że:
$$sin(180°-120°)=sin120° \\
sin60°=sin120°$$
Wartość \(sin60°\) możemy już odczytać z tablic i będzie to:
$$sin120°=sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Krok 2. Obliczenie pola trójkąta.
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sinα \\
P=\frac{1}{2}\cdot20\cdot12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\
P=120\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\
P=60\sqrt{3}$$
Odpowiedź:
C. \(60\sqrt{3}\)
Można rozwiązać to zadanie prościej, bez sinusów.
Jeśli podzielimy kąt 120 stopni na dwa kąty: 30 i 90, to otrzymamy połowę trójkąta równobocznego np. o boku 12. W związku z tym h wyniesie 6*sqrt(3), więc pole trójkąta można obliczyć z podstawowego wzoru a*h/2 czyli: 20*6*sqrt(3)/2=60*sqrt(3)
Bardzo ciekawy sposób na rozwiązanie tego zadania, dzięki! :) Jak ktoś nie lubi trygonometrii to faktycznie będzie to dla niego prostsza metoda, choć przedstawiony przeze mnie sposób rozwiązania ma jedną sporą zaletę – jest bardziej uniwersalny i dlatego też takie podejście tutaj zastosowałem :)