Boki trójkąta ABC są zawarte w prostych o równaniach y=2/3x+2 i y=-x+2 oraz osi Ox

Boki trójkąta \(ABC\) są zawarte w prostych o równaniach \(y=\frac{2}{3}x+2\) i \(y=-x+2\) oraz osi \(Ox\) układu współrzędnych (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Pole trójkąta \(ABC\) jest równe:

Rozwiązanie

Krok 1. Ustalenie, która prosta jest prostą \(AC\), a która \(BC\).
Skąd wiemy, która prosta jest opisana równaniem \(y=\frac{2}{3}x+2\), a która \(y=-x+2\)? By to stwierdzić, nie musimy tutaj wykonywać żadnych większych obliczeń. Wystarczy zauważyć, że jedna prosta jest rosnąca (czyli jej współczynnik kierunkowy \(a\) musi być dodatni), a druga jest malejąca (czyli jej współczynnik \(a\) musi być ujemny). To prowadzi nas do wniosku, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{2}{3}x+2\), natomiast prosta \(BC\) wyraża się równaniem \(y=-x+2\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktów \(A\), \(B\) oraz \(C\).
Zacznijmy od punktu \(A\). Widzimy, że leży on na osi \(Ox\), czyli jego współrzędna \(y=0\). Skoro punkt \(A\) leży na prostej \(y=\frac{2}{3}x+2\), to podstawiając do tego równania \(y=0\), otrzymamy:
$$0=\frac{2}{3}x+2 \\
-2=\frac{2}{3}x \\
x=-3$$

To oznacza, że \(A=(-3;0)\).

Analogicznie podchodzimy do punktu \(B\), bo tutaj także \(y=0\), ale tym razem równaniem prostej przechodzącej przez ten punkt będzie \(y=-x+2\), tak więc:
$$0=-x+2 \\
x=2$$

To oznacza, że \(B=(2;0)\).

Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\) jest najprostsze, ponieważ jest to punkt leżący na osi \(Oy\), a więc z pomocą przyjdzie nam współczynnik \(b\) prostej, która przez ten punkt przechodzi. Widzimy wyraźnie, że zarówno jedna, jak i druga prosta, mają współczynnik \(b=2\), tak więc \(C=(2;0)\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\).
Nanosząc na rysunek obliczone współrzędne, otrzymamy taką oto sytuację:
matura z matematyki

Licząc nawet po kratkach widzimy, że podstawa naszego trójkąta ma długość \(a=5\), natomiast wysokość tego trójkąta to \(h=2\). Skoro tak, to korzystając ze standardowego wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot5\cdot2 \\
P=5$$

Odpowiedź

C

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments