Błąd bezwzględny i względny

Błąd bezwzględny
Błąd bezwzględny informuje nas o ile różni się wartość przybliżona (czyli taką którą obliczyliśmy, oszacowaliśmy lub zmierzyliśmy) od wartości dokładnej (prawdziwej).

Błąd bezwzględny obliczymy ze wzoru:
$$Δx=|x-p|$$
$Δx$ – błąd bezwzględny
$x$ – wartość dokładna
$p$ – wartość przybliżona

Możemy tutaj od razu podać sobie przykład:

Przykład 1. Mama oszacowała, że Kasia ma $160cm$ wzrostu. Tata stwierdził, że Kasia ma $164cm$. Okazało się, że dziewczynka ma dokładnie $162cm$. Oblicz błąd bezwzględny szacunku mamy oraz taty.

Zacznijmy od obliczenia błędu bezwzględnego mamy. Z treści zadania wiemy, że Kasia ma $162cm$, czyli wartość dokładna jest równa $x=162$. Mama oszacowała ten wzrost na $160cm$, zatem wartość przybliżona wynosi $p=160$. W związku z tym:
$$Δx=|x-p| \\
Δx=|162-160| \\
Δx=|2| \\
Δx=2$$

Błąd bezwzględny szacunku mamy jest więc równy $2cm$.

Teraz obliczmy błąd bezwzględny szacunku taty. Tutaj także mamy wartość dokładną równą $x=162$, a wartość przybliżona to tym razem $p=164$. Zatem:
$$Δx=|x-p| \\
Δx=|162-164| \\
Δx=|-2| \\
Δx=2$$

Błąd bezwzględny szacunku taty jest więc równy $2cm$.

Patrząc się na powyższy przykład warto zauważyć, że choć mama i tata podali różne wyniki, to błąd bezwzględny wyszedł im taki sam. Tutaj możemy powiedzieć, że z matematycznego punktu widzenia przybliżenie mamy było z niedomiarem (bo mama zakładała wzrost mniejszy niż w rzeczywistości), a przybliżenie taty było z nadmiarem (bo zakładał on większy wzrost niż córka miała w rzeczywistości). Czasem nawet pojęcie nadmiaru i niedomiaru może się pojawić w treści zadania.

Przykład 2. Liczba $20$ jest przybliżeniem z niedomiarem liczby $x$. Oblicz wartość $x$, jeżeli błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy $4$.

Wiemy, że wartość przybliżona jest równa $20$. Wiemy też, że wartość przybliżona była podana z niedomiarem (czyli rzeczywista wartość musi być większa od $20$). Skoro więc błąd bezwzględny jest równy $4$, to nasza liczba $x$ jest równa:
$$x=20+4=24$$

Błąd względny
Oprócz błędu bezwzględnego istnieje także pojęcie błędu względnego. Błąd względny to tak naprawdę stosunek błędu bezwzględnego do wartości dokładnej.

Błąd względny obliczymy korzystając ze wzoru:
$$δ=\frac{Δx}{x}=\frac{|x-p|}{x}$$
$δ$ – błąd względny
$Δx$ – błąd bezwzględny
$x$ – wartość dokładna
$p$ – wartość przybliżona

Bardzo często błąd względny będzie podawany w procentach, ukazując nam w ten sposób bardzo obrazowo jak wielki jest dany błąd. Chcąc więc przedstawić błąd względny w procentach wystarczy, że wymnożymy całość przez $100\%$:
$$δ=\frac{Δx}{x}\cdot100\%=\frac{|x-p|}{x}\cdot100\%$$

Przykład 3. Oblicz błąd względny zaokrąglenia liczby $48$ do pełnych dziesiątek. Wynik podaj w procentach.

Zgodnie z matematycznymi zasadami zaokrągleniem liczby $48$ do pełnych dziesiątek jest $50$ (zaokrąglamy w górę, bo decyduje o tym ósemka znajdująca się na końcu liczby). Możemy więc zapisać zgodnie z poznanymi oznaczeniami, że:
$$x=48 \\
p=50$$

Korzystając ze wzoru na błąd względny otrzymamy:
$$δ=\frac{|x-p|}{x}\cdot100\% \\
δ=\frac{|48-50|}{48}\cdot100\% \\
δ=\frac{|-2|}{48}\cdot100\% \\
δ=\frac{2}{48}\cdot100\% \\
δ=\frac{1}{24}\cdot100\% \\
δ=\frac{100}{24}\%\approx4,17\%$$

Zobacz też: Wariancja

Zobacz też: Odchylenie standardowe

Podaj swój nick lub imię*

E-mail

5 komentarzy

Inline Feedbacks

View all comments

Anna

Bardzo dobrze wytłumaczone, zresztą jak chyba każdy temat na tej stronie :)

Odpowiedz

Ola

ale to prawda fajna stronka

Marta

Dobrze wytłumaczone, jest jak znalazł do matury :)

Abaddon

Co do przykładu nr 3 – jeśli na maturze dostanę polecenie zaokrąglenia liczby takiej jak 45, to docelowo należy zaokrąglić w górę, czy w dół?

SzaloneLiczby

Autor

Reply to Abaddon

Cyfra 5 sprawia, że zaokrąglamy w górę :)