Błąd bezwzględny i względny

Błąd bezwzględny
Błąd bezwzględny informuje nas o ile różni się wartość przybliżona (czyli taką którą obliczyliśmy, oszacowaliśmy lub zmierzyliśmy) od wartości dokładnej (prawdziwej).

Błąd bezwzględny obliczymy ze wzoru:
$$Δx=|x-x_{o}|$$
\(Δx\) – błąd bezwzględny
\(x\) – wartość dokładna
\(x_{o}\) – wartość przybliżona

Możemy tutaj od razu podać sobie przykład:

Przykład 1. Mama oszacowała, że Kasia ma \(160cm\) wzrostu. Tata stwierdził, że Kasia ma \(164cm\). Okazało się, że dziewczynka ma dokładnie \(162cm\). Oblicz błąd bezwzględny szacunku mamy oraz taty.

Zacznijmy od obliczenia błędu bezwzględnego mamy. Z treści zadania wiemy, że Kasia ma \(162cm\), czyli wartość dokładna jest równa \(x=162\). Mama oszacowała ten wzrost na \(160cm\), zatem wartość przybliżona wynosi \(x_{o}=160\). W związku z tym:
$$Δx=|x-x_{o}| \\
Δx=|162-160| \\
Δx=|2| \\
Δx=2[cm]$$

Błąd bezwzględny szacunku mamy jest więc równy \(2cm\).

Teraz obliczmy błąd bezwzględny szacunku taty. Tutaj także mamy wartość dokładną równą \(x=162\), a wartość przybliżona to tym razem \(x_{o}=164\). Zatem:
$$Δx=|x-x_{o}| \\
Δx=|162-164| \\
Δx=|-2| \\
Δx=2[cm]$$

Błąd bezwzględny szacunku taty jest więc równy \(2cm\).

Patrząc się na powyższy przykład warto zauważyć, że choć mama i tata podali różne wyniki, to błąd bezwzględny wyszedł im taki sam. Tutaj możemy powiedzieć, że z matematycznego punktu widzenia przybliżenie mamy było z niedomiarem (bo mama zakładała wzrost mniejszy niż w rzeczywistości), a przybliżenie taty było z nadmiarem (bo zakładał on większy wzrost niż córka miała w rzeczywistości). Czasem nawet pojęcie nadmiaru i niedomiaru może się pojawić w treści zadania.

Przykład 2. Liczba \(20\) jest przybliżeniem z nadmiarem liczby \(x\). Oblicz wartość \(x\), jeżeli błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy \(4\).

Wiemy, że wartość dokładna jest równa \(20\). Wiemy też, że wartość przybliżona była podana z nadmiarem (czyli musi być większa od \(20\)). Skoro więc błąd bezwzględny jest równy \(4\), to nasza liczba \(x\) jest równa:
$$x=20+4=24$$

Błąd względny
Oprócz błędu bezwzględnego istnieje także pojęcie błędu względnego. Błąd względny to tak naprawdę stosunek błędu względnego do wartości dokładnej.

Błąd względny obliczymy korzystając ze wzoru:
$$δ=\frac{Δx}{x}=\frac{|x-x_{o}|}{x}$$
\(δ\) – błąd bezwzględny
\(Δx\) – błąd bezwzględny
\(x\) – wartość dokładna
\(x_{o}\) – wartość przybliżona

Bardzo często błąd względny będzie podawany w procentach, ukazując nam w ten sposób bardzo obrazowo jak wielki jest dany błąd. Chcąc więc przedstawić błąd względny w procentach wystarczy, że wymnożymy całość przez \(100\%\):
$$δ=\frac{Δx}{x}\cdot100\%=\frac{|x-x_{o}|}{x}\cdot100\%$$

Przykład 3. Oblicz błąd bezwzględny zaokrąglenia liczby \(48\) do pełnych dziesiątek. Wynik podaj w procentach.

Zgodnie z matematycznymi zasadami zaokrągleniem liczby \(48\) do pełnych dziesiątek jest \(50\) (zaokrąglamy w górę, bo decyduje o tym ósemka znajdująca się na końcu liczby). Możemy więc zapisać zgodnie z poznanymi oznaczeniami, że:
$$x=48 \\
x_{o}=50$$

Korzystając ze wzoru na błąd bezwzględny otrzymamy:
$$δ=\frac{|x-x_{o}|}{x}\cdot100\% \\
δ=\frac{|48-50|}{48}\cdot100\% \\
δ=\frac{|-2|}{48}\cdot100\% \\
δ=\frac{2}{48}\cdot100\% \\
δ=\frac{1}{24}\cdot100\% \\
δ=\frac{100}{24}\%\approx4,17\%$$

Zobacz też: Wariancja

Dodaj komentarz