Biegacz narciarski Borys wyruszył na trasę biegu o 10 minut później niż inny zawodnik, Adam

Biegacz narciarski Borys wyruszył na trasę biegu o \(10\) minut później niż inny zawodnik, Adam. Metę zawodów, po przebyciu \(15\)-kilometrowej trasy biegu, obaj zawodnicy pokonali równocześnie. Okazało się, że wartość średniej prędkości na całej trasie w przypadku Borysa była o \(4,5km/h\) większa niż w przypadku Adama. Oblicz, w jakim czasie Adam pokonał całą trasę biegu.

\(v\) – średnia prędkość Adama [\(\frac{km}{h}\)]
\(t\) – czas Adama [\(h\)]

\(v+4,5\) – średnia prędkość Borysa [\(\frac{km}{h}\)]
\(t-\frac{1}{6}\) – czas Borysa [\(h\)]
Odejmujemy \(\frac{1}{6}\), bo Borys biegł \(10\) minut krócej, a skoro posługujemy się godzinami to \(10min=\frac{1}{6}h\).

\(s=15\) – długość trasy

Skorzystamy tutaj ze wzoru \(s=vt\).
\begin{cases}
15=vt \\
15=(v+4,5)\left(t-\frac{1}{6}\right)
\end{cases}

Podstawiając z pierwszego równania \(v=\frac{15}{t}\) do drugiego równania otrzymamy:
$$\require{cancel}
15=\left(\frac{15}{t}+4,5\right)\left(t-\frac{1}{6}\right) \\
\cancel{15}=\cancel{15}-\frac{15}{6t}+4,5t-\frac{3}{4} \\
-\frac{15}{6t}+4,5t-\frac{3}{4}=0 \\
-\frac{5}{2t}+4,5t-\frac{3}{4}=0 \quad\bigg/\cdot4t \\
-10+18t^2-3t=0 \\
18t^2-3t-10=0$$

Współczynniki: \(a=18,\;b=-3,\;c=-10\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot18\cdot(-10)=9-(-720)=729 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{729}=27$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-27}{2\cdot18}=\frac{3-27}{36}=\frac{-24}{36}=-\frac{2}{3} \\
t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+27}{2\cdot18}=\frac{3+27}{36}=\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$$

Rozwiązanie ujemne musimy odrzucić, bo czas nie może być ujemny. Zostaje nam \(t=\frac{5}{6}[h]\), a zgodnie z naszymi oznaczeniami jest to czas biegu Adama, czyli dokładnie to czego szukaliśmy. Możemy jeszcze zapisać, że \(t=\frac{5}{6}h=50 min.\) i w takim też czasie Adam pokonał całą trasę biegu.

\(t=\frac{5}{6}h=50 min.\)