Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne (rozwinięcie dziesiętne)

Czym jest rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego?
Rozwinięcie dziesiętne to tak naprawdę zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne. W różnych zadaniach i obliczeniach bardzo często korzystamy naprzemiennie z ułamków zwykłych i dziesiętnych. Pewien problem pojawia się w sytuacji, kiedy musimy je np. do siebie dodać. W tym celu musimy nauczyć się sprawnej zamiany ułamków zwykłych na dziesiętne.

Kilka podstawowych rozwinięć ułamków zwykłych pewnie już znasz:

  • \(\frac{1}{2}=0,5\)
  • \(\frac{1}{4}=0,25\)
  • \(\frac{1}{10}=0,1\)

Jak zamienić np. ułamek \(\frac{3}{20}\) na ułamek dziesiętny?
Dokonać takiej zamiany możemy tak naprawdę na dwa sposoby:

I sposób – rozszerzając ułamek zwykły do mianownika z liczbą \(10, 100, 1000…\):

Na początku działu z ułamkami mówiliśmy sobie, że ułamek dziesiętny to tak naprawdę inna forma przedstawienia ułamka zwykłego, który ma w mianowniku liczbę \(10, 100, 1000…\) I w tym sposobie wykorzystamy tę wiedzę, rozszerzając ułamki do takich, które właśnie mają wielokrotność \(10\) w swoim mianowniku. Dzięki temu zamiana na ułamek dziesiętny jest niezwykle prosta, spójrz:

$$\frac{3}{20}=\frac{3\cdot5}{20\cdot5}=\frac{15}{100}=0,15$$

Analogicznie moglibyśmy zamienić np.:
$$\frac{3}{5}=\frac{3\cdot2}{5\cdot2}=\frac{6}{10}=0,6 \\
\quad \\
\frac{7}{25}=\frac{7\cdot4}{25\cdot4}=\frac{28}{100}=0,28$$

II sposób – wykonując dzielenie:
Kiedy rozpoczynaliśmy naukę ułamków zwykłych mówiliśmy sobie że kreska ułamkowa zastępuje nam dzielenie, co oznacza, że ułamek \(\frac{3}{20}\) jest odpowiednikiem dzielenia \(3:20\). Wykorzystajmy tę wiedzę i… spróbujmy podzielić te dwie liczby przez siebie.

$$\quad \quad \; 0,15 \; \quad \\
\overline {\quad \; 3 : 20} \\
-\quad \;\; 0 \; \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad 30 \quad \quad} \\
-\quad 20 \quad \quad \\
\overline {\quad \quad 100 \;\; \quad} \\
-\quad 100 \;\; \quad \\
\overline {\quad \quad \; 0 \quad} \\$$

Wynikiem tego dzielenia jest \(0,15\), a to znaczy że właśnie zamieniliśmy ułamek \(\frac{3}{20}\) na jego postać dziesiętną. Można więc powiedzieć, że aby zamienić ułamek zwykły na dziesiętny wystarczy podzielić licznik przez mianownik.

Rozwinięcie dziesiętne nieskończone
Wszystko do tej pory wyglądało dość prosto, ale prędzej czy później napotkamy na pewną trudność… By omówić sobie pewien problem zamieńmy ułamek \(\frac{1}{3}\) na postać dziesiętną, dzieląc oczywiście \(1:3\).

$$\quad \quad \quad 0,333… \\
\overline {\quad 1 : 3} \\
-\quad \quad 0 \; \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad \; 10 \quad \quad} \\
-\quad \;\; 9 \quad \quad \\
\overline {\quad \quad \;\; 10 \;\; \quad} \\
-\quad \; 9 \quad \\
\overline {\quad \quad \; 10 \;\;} \\
-\quad \;\; 9 \;\; \\
\overline {\quad \quad 1} \\ $$

Widzimy wyraźnie, że niezależnie od tego jak długo byśmy rozwiązywali dzielenie \(1:3\) tak ciągle zadanie będzie wyglądać na nieskończone, wszak cały czas musimy dopisywać trójkę po przecinku. I tu się właśnie na chwilę zatrzymamy.

Jeżeli w trakcie dzielenia zauważymy, że pewna grupa cyfr znajdujących się po przecinku powtarza się, to znak że mamy do czynienia z rozwinięciem okresowym. W takim przypadku grupę cyfr powtarzających się zapisujemy w nawiasach, co nazywać będziemy okresem ułamka dziesiętnego. Przykładowo:

  • \(\frac{1}{3} = 0,3333…=0,(3)\)
  • \(\frac{5}{9} = 0,5555…=0,(5)\)
  • \(\frac{7}{11} = 0,636363…=0,(63)\)

A czy moglibyśmy ułamek \(\frac{1}{3}\) zapisać jako np. \(0,(333)\)?
Teoretycznie nie byłby to duży błąd, ale zawsze musimy starać się dążyć do jak najprostszej postaci. W tym przypadku naszym okresem jest \(3\), więc poprawniejszym zapisem będzie \(0,(3)\).

W ostatnim przykładzie mamy zapis \(\frac{7}{11}=0,(63)\). A czy moglibyśmy to zapisać jako \(0,6(36)\)?
I tu ponownie – teoretycznie wartość obydwu zapisów jest ten sam, ale poprawniejszym zapisem jest \(0,(63)\), bo okres naszego ułamka jest równy \(63\), a nie \(36\). Ogólnie zasada zapisywania okresów jest prosta – musimy dążyć do jak najprostszej postaci. Poza tym możesz uwierz mi, ale nie stosując się do zasad upraszczania takich zapisów prędzej czy później można wpaść w pułapkę.

To jest ciekawe!
Na koniec mam dla Ciebie prosty sposób na zweryfikowanie tego czy dany ułamek ma rozwinięcie okresowe, czy też nie. Jeśli liczbę znajdująca się w mianowniku da się przedstawić w formie mnożenia liczb \(2\) i/lub \(5\) to ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone. Jeśli tego nie da się zrobić (i nie da się już skrócić ułamka), to będziemy mieli do czynienia z rozwinięciem okresowym. Przykładowo:

  • \(\frac{3}{8}\) będzie miało rozwinięcie dziesiętne skończone, bo \(8\) można przedstawić za pomocą iloczynu \(2\cdot2\cdot2=8\).
  • \(\frac{3}{40}\) także ma rozwinięcie dziesiętne skończone, bo \(40\) można przedstawić za pomocą iloczynu \(5\cdot2\cdot2\cdot2=40\).
  • \(\frac{3}{7}\) ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone, bo \(7\) nie można przedstawić za pomocą iloczynu \(5\) i \(2\).

Pamiętaj, że ta zasada dotyczy ułamków, których nie da się już skrócić do prostszej postaci.

Ćwiczenia i tematy polecane dla Ciebie:

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.