Wyrażenia algebraiczne

Czym są wyrażenia algebraiczne i po co wprowadziliśmy litery do matematyki? Na co zwracać uwagę i jakich błędów należy przy tworzeniu takich wyrażeń? Na te pytania odpowiemy sobie w tym temacie.

Dotychczas na matematyce operowaliśmy zazwyczaj samymi liczbami, tworzyliśmy różne działania, uczyliśmy się podstawowych własności liczb itd. Jednak były już rozdziały, w których zaczęły się pojawiać nam litery (chociażby we wzorach matematycznych, czy też zadaniach z drogą/prędkością/czasem). Okazuje się więc, że świat matematyki to nie tylko liczby! Czas na nowy dział, który nazywać będziemy algebrą. Dzisiaj zajmiemy się podstawowymi informacjami dotyczącymi wyrażeń algebraicznych.

Czym są wyrażenia algebraiczne?
Wyrażenia algebraiczne to tak naprawdę połączenie liter i liczb za pomocą znaków działań matematycznych. Z tego też względu wyrażeniami algebraicznymi będą:
$$x+5,\quad y^2-2,\quad 6x,\quad 2x+3y+8,\quad a^2+b^2+c^2$$

Zwróć szczególną uwagę na wyrażenie \(6x\). Jest to tak naprawdę \(6\cdot x\), ale dla uproszczenia przyjęło się, żeby w kropkę oznaczającą mnożenie pomijać, tam gdzie jest to możliwe. I tak oto nie stawiamy kropki pomiędzy czynnikami, które są:

  • dwiema literami np. \(a\cdot b=ab\)
  • liczbą i literą np. \(2\cdot a=2a\)
  • liczbą lub literą przed nawiasem np. \(3\cdot(a+b)=3(a+b)\)

Oczywiście powyższe zasady dotyczą tylko mnożenia. Pozostałe znaki zapisujemy normalnie.

Po co wprowadzono zasadę z likwidacją kropki w powyższych przypadkach?
Powody są w zasadzie trzy. Po pierwsze takie wyrażenie jest mimo wszystko czytelniejsze. Po drugie tak jest szybciej. Po trzecie unikamy w ten sposób ewentualnych błędów przez niedopatrzenie, bo zapis kropki jest bardzo zbliżony do dwóch kropek z dzielenia.

Po co w ogóle wprowadzono litery do matematyki?
Litery w matematyce pojawiły się w sumie z dwóch powodów:
1. Dzięki literom jesteśmy w stanie tworzyć zapisy, które pozwolą obliczać różne niewiadome. Do tej pory Twoim zadaniem na matematyce było zazwyczaj obliczanie końcowego wyniku mając wszystkie dane podane na tacy – dzięki algebrze będziesz mógł dochodzić do pewnych wartości samodzielnie, co sprawi że będziemy rozwiązywać zadania z niewielką ilością danych.
2. Dzięki literom możemy zapisywać pewne uniwersalne relacje, które zachodzą między liczbami.

A to ciekawe!
Przykładowo każdą liczbę parzystą możemy zapisać jako \(2x\). Jakiejkolwiek liczby naturalnej byś nie podstawił do tego wzoru, to zawsze wyjdzie Ci liczba parzysta (np. dla \(x=5\) mamy wartość \(2\cdot5=10\)).

Liczbę nieparzystą możemy za to zapisać jako \(2x-1\) i tu także podstawiając dowolną liczbę naturalną otrzymamy liczbę nieparzystą (np. dla \(x=5\) mamy wartość \(2\cdot5-1=9\)).

Prosty przykład, który uzmysłowi Ci czym jest algebra:
Do tej pory zadania z polem prostokąta polegały przede wszystkim na tym, że znałeś miary jednego i drugiego boku (bądź też łatwo je mogłeś obliczyć). Krótko mówiąc – musiałeś mieć zawsze pełen komplet informacji, by coś wyliczyć.

Dzięki algebrze będziesz w stanie policzyć znacznie więcej typów zadań, mając często dużo mniej informacji na wstępie. Przykładowo będziesz mógł obliczyć długość krótszego boku prostokąta, wiedząc że jest \(3\) razy krótszy od dłuższego i że pole całej figury wynosi \(12cm^2\). Musisz przyznać, że dzisiaj to zadanie wydaje się dość trudne i w zasadzie możesz je obliczyć co najwyżej metodą prób i błędów. Na szczęście w kolejnych tematach poznasz proste zasady, dzięki którym z łatwością wyliczyć tego typu zadania.

Jak odczytywać zapis algebraiczny?
Zanim jednak przejdziemy do zadań to spójrzmy na kilka przykładów wyrażeń algebraicznych i zobaczmy co one dokładnie oznaczają. Zwróć uwagę na to, że niektóre zapisy są bardzo podobne do siebie, a jednak znaczą coś innego!

  • \(a+2\) to suma liczb \(a\) i \(2\)
  • \(a-2\) to różnica liczb \(a\) i \(2\)
  • \(2a\) to iloczyn liczb \(2\) i \(a\) lub liczba dwa razy większa od \(a\)
  • \(a:2\) to iloraz liczb \(a\) i \(2\) (a nawet możemy powiedzieć, że jest to połowa liczby \(a\), bo dzielenie przez \(2\) daje nam połowę)
  • \(\frac{1}{2}a\) to iloczyn liczb \(\frac{1}{2}\) i \(a\) lub połowa liczby \(a\)
  • \(0,5a\) to tutaj tak samo jest to iloczyn liczb \(0,5\) i \(a\) lub połowa liczby \(a\)
  • \(a^2 + b^2\) to suma kwadratów liczb \(a\) i \(b\)
  • \((a+b)^2\) to kwadrat sumy liczb \(a\) i \(b\)

Zadania kontrolne:

Zadanie 1. Uzupełnij zdania:
a) Liczba trzykrotnie większa od \(x\) to …
b) Liczba czterokrotnie mniejsza od \(x\) to …
c) Liczba o połowę większa od \(x\) to …

  • Odpowiedź:
    a) \(3x\)
    b) \(\frac{1}{4}x\) lub \(0,25x\)
    c) \(1\frac{1}{2}x\) lub \(1,5x\)

Tematy i ćwiczenia polecane dla Ciebie:

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.