Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka to jedna z podstawowych umiejętności, dlatego przyjrzyjmy się jak poprawnie wykonać tę operację, tak aby w przyszłości nie popełniać już błędów.

Wzorem z którego korzystamy przy wyłączaniu czynnika przed pierwiastek jest:
$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$$

Jeśli dobrze przeanalizujemy ten zapis to zauważymy, że kluczem do sukcesu przy wyłączeniu czynnika przed pierwiastek kwadratowy jest odnalezienie takiego iloczynu liczb, aby jedna z tych liczb była kwadratem jakiejś liczby naturalnej (takimi liczbami są np. \(4, 9, 16\) itd.). Gdybyśmy mieli trzeci stopień pierwiastka to liczba ta musiałaby być sześcianem (\(8, 27, 64\) itd.).

Krótko mówiąc – jeśli mamy pierwiastek kwadratowy, to dobrze jest sprawdzić czy liczba pod pierwiastkiem jest podzielna przez \(4, 9, 16\) itd. Jeśli tak, to znaczy że można wyłączyć ją przed znak pierwiastka.
(Dlaczego np. \(4, 9, 16…\)? Bo \(4=2^2, 9=3^2, 16=4^2…\))

Zadanie 1. Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka z \(\sqrt{27}\)
Mamy pierwiastek kwadratowy, więc musimy sprawdzić czy 27 dzieli się całkowicie przez którąś z liczb, które są kwadratem liczby naturalnej. Okazuje się, że 27 dzieli się przez 9, a to oznacza, że możemy zapisać to jako:
$$\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{3}=3\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}$$
Zadanie 2. Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka z \(\sqrt{32}\)
Postępujemy identycznie jak w Zadaniu 1. Liczba 32 jest podzielna przez 16, co wykorzystamy do poniższych obliczeń:
$$\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{2}=4\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$
Zadanie 3. Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka z \(\sqrt[3]{40}\)
Tutaj mamy pierwiastek trzeciego stopnia z 40. Musimy więc sprawdzić, czy 40 dzieli się przez jakiś sześcian liczby naturalnej (np. 8, 27, 64…). Widzimy, że dzieli się przez 8, stąd też całość możemy zapisać w następującej formie:
$$\sqrt[3]{40}=\sqrt[3]{8\cdot5}=\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{5}=2\sqrt[3]{5}$$
Nic też nie stoi na przeszkodzie, by odwrócić całą operację i by włączać czynnik pod pierwiastek. Np.:

$$2\sqrt{2}=\sqrt{2^2\cdot 2}=\sqrt{4\cdot 2}=\sqrt{8}\\
3\sqrt{2}=\sqrt{3^2\cdot 2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}\\
5\sqrt{3}=\sqrt{5^2\cdot 3}=\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{75}$$

Pamiętaj! Staraj się wyłączać czynniki przed pierwiastek jeśli jest to tylko możliwe. Dzięki temu Twoje zadanie będzie wyliczone w pełni poprawnie.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.