Ułamki zwykłe

Pewnie już nieraz w swoim życiu spotkałeś się z takimi pojęciami jak „połowa”, „część”, „ćwierć”, „na pół” itd. Być może sobie jeszcze wtedy nie zdawałeś sprawy z tego, ale właśnie te zwroty odkrywają przed Tobą nowy dział matematyki, który nazywać będziemy ułamkami. Na początku poznajmy podstawowe informacje o ułamkach zwykłych.

Każdy ułamek zwykły ma następującą postać:
$$\frac{licznik}{mianownik}$$

Ułamek zwykły składa się więc z trzech elementów:

  • licznik – liczba na górze ułamka (nad kreską ułamkową)
  • kreska ułamkowa – czyli linia, która oddziela nam licznik od mianownika
  • mianownik – liczba na dole ułamka (pod kreską ułamkową)
Ważne: Zapamiętaj pojęcie licznika i mianownika, bo one bardzo często będą występować w różnych zadaniach!
Ułamki zwykłe – przykłady:
$$\frac{1}{3},\;\frac{2}{7},\;\frac{11}{34},\; -\frac{8}{13}$$

Czym tak naprawdę są ułamki zwykłe?
Ułamki zwykłe służą nam zazwyczaj do opisania pewnej wartości, która została wydzielona z jakiejś całości.

Wyobraźmy sobie sytuację, w której wziąłeś do szkoły kanapkę, a Twój kolega z ławki zapomniał zabrać ze sobą drugiego śniadania. Dzielisz więc swoją kanapkę na dwie równe części i jedną z nich wręczasz koledze. W ten oto sposób każdy z Was ma pół kanapki. W świecie ułamków wartość „pół” zapisujemy jako ułamek \(\frac{1}{2}\). A co by było, gdybyśmy tą samą kanapkę podzieli równo na trzy osoby? Wtedy każdy dostałaby „jedną trzecią”, co zapisalibyśmy jako \(\frac{1}{3}\).

Weźmy teraz inny przykład – dzielimy tort urodzinowy pomiędzy gości. Jeśli mamy \(9\) osób i każdy z nich dostanie równą porcję, to po podzieleniu tortu każdy otrzyma dokładnie \(\frac{1}{9}\) tortu. A co by było, gdyby ktoś otrzymał wyjątkowo dwa kawałki zamiast jednego? Wtedy ta osoba miałaby na talerzu \(\frac{2}{9}\) tortu, bo miałaby dwa kawałki z dziewięciu na jakie został podzielony tort.

Spójrzmy na kolejną sytuację. Załóżmy, że w bombonierce mamy \(24\) czekoladki, a \(5\) z nich jest z orzechami. Czy możemy powiedzieć, że czekoladki z orzechami stanowią \(\frac{5}{24}\) bombonierki? Jasne, że tak! Naszą całością jest w tym momencie bombonierka, a my za pomocą ułamka określamy ile jest czekoladek z orzechami spośród wszystkich słodkości, które znalazły się w bombonierce. Skoro czekoladek z orzechami jest \(5\) z \(24\), to ułamek \(\frac{5}{24}\) jest jak najbardziej poprawnym opisem tej sytuacji.

Przykład 1. Mama dała Ani ćwiartkę pomarańczy (czyli jeden z czterech kawałków). Jak zapisać to w formie ułamka zwykłego?

Odpowiedź: Ćwiartka to \(\frac{1}{4}\).

Przykład 2. Ania zawiesiła na choinkę pięć własnoręcznych ozdób, z czego dwie były z papieru. Jaką część własnoręcznych ozdób stanowią ozdoby papierowe?

Odpowiedź: Ozdoby papierowe stanową \(\frac{2}{5}\) własnoręcznie wykonanych ozdób.

Ułamek jako wynik dzielenia:
Kreska ułamkowa w ułamku zwykłym jest tak naprawdę pewną formą przedstawienia dzielenia. Kiedy dzieliliśmy pomarańczę na cztery kawałki, to tak naprawdę wykonaliśmy dzielenie \(1:4\), bo jedną pomarańczę dzieliliśmy na cztery cząstki. Analogicznie możemy też podzielić np.: \(3\) czekolady pomiędzy \(5\) uczniów, co da nam działanie \(3:5\), a więc każda z osób dostanie \(\frac{3}{5}\) czekolady.
Przykład 3. Jaki ułamek jest wynikiem działania \(2:3\)?

Odpowiedź: Tym ułamkiem jest \(\frac{2}{3}\).

Wśród ułamków możemy wyróżnić ułamki właściwe, niewłaściwe i mieszane.

  • Ułamki właściwe to takie, w których licznik jest mniejszy od mianownika (czyli wartość bezwzględna takiego ułamka jest zawsze mniejsza od \(1\)) np:
    $$\frac{3}{4},\; \frac{5}{8},\; \frac{5}{9},\; -\frac{1}{32}$$
  • Ułamki niewłaściwe to takie, w których licznik jest większy od mianownika (czyli wartość bezwzględna takiego ułamka jest zawsze większa od \(1\)) np:
    $$\frac{4}{3},\; \frac{5}{2},\; -\frac{6}{5},\; -\frac{16}{7}$$
  • Ułamki mieszane to takie, w których przed ułamkiem występuje jeszcze jakaś liczba całkowita np:
    $$3\frac{3}{4},\; 2\frac{1}{6},\; -3\frac{2}{9},\; -99\frac{1}{99}$$
Przykład 4. Mama dała Ani całe jabłko i jeszcze pół drugiego. Ile jabłek otrzymała Ania?

Odpowiedź: Ania otrzymała \(1\frac{1}{2}\) jabłka.
Ten ułamek jest przykładem ułamka mieszanego.

Zadania kontrolne:

Zadanie 1. Tydzień składa się z siedmiu dni. Jaką częścią tygodnia są więc dni, w które zazwyczaj chodzisz do szkoły?

  • Odpowiedź: Do szkoły chodzimy przez \(5\) dni w tygodniu (poniedziałek, wtorek, środa, czwartek, piątek). To oznacza, że w tradycyjnym tygodniu szkolnym uczymy się przez \(\frac{5}{7}\) tygodnia.
Zadanie 2. Kasia zjadła \(3\) cukierki, a w opakowaniu zostało jeszcze \(7\) cukierków. Jaką część cukierków (wyrażoną w ułamku) zjadła Kasia?

  • Odpowiedź: Tego typu zadania są dla uczniów bardzo podchwytliwe i bardzo często zapisujecie w odpowiedzi ułamek \(\frac{3}{7}\). Ale czy to jest dobra odpowiedź? No właśnie nie. Skoro Kasia zjadła \(3\) cukierki, a jeszcze \(7\) pozostało, to łącznie w opakowaniu mieliśmy \(3+7=10\) cukierków. Kasia zjadła więc \(3\) cukierki z \(10\), a nie \(3\) z \(7\). Dlatego też prawidłowym stwierdzeniem jest to, że Kasia zjadła \(\frac{3}{10}\) cukierków.

Zobacz także inne tematy i ćwiczenia związane z ułamkami zwykłymi:

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.