Sto dzielników

Jaka jest najmniejsza liczba naturalna, która ma dokładnie 100 dzielników?

  • Ta liczba to 45 360
10 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
aa

Jak do tego doszedłeś?

Paweł

Jeżeli dzielnikami mogą być liczby ujemne to 6480, jeśli nie to 45360

Mikołaj
Reply to  Paweł

nie do końca, ponieważ wzór na liczbę dzielników to (a+1)(b+1), gdzie mamy x^a*y^b, a x i y to liczby pierwsze

Mikołaj
Reply to  Paweł

a poza tym liczby ujemne to nie liczby naturalne

Mati :)

Kod pocztowy opola

dr_P

wg mnie 100! czyli 1*2*3*…*99*100, uważam tak gdyż wtedy dzielnikami są liczby od 1 do 100. Gdyby zamienić któryś z tych dzielników na większy wtedy liczba automatycznie liczba stałaby się większa.

Janek
Reply to  dr_P

zauważ jednak, że mnożąc po kolei te 'dzielniki’ ta liczba się robi ogromna… na tej zasadzie, że robiąc silnię z choćby 4 (1*2*3*4) otrzymamy wynik 24, której dzielnikami są również 6,8,12,24. To oznacza, że na wyższych mnożeniach ta sytuacja się powtórzy, co zresztą sprawi, że twoja wyliczona liczba będzie miała znacznie więcej niż 100 dzielników…

aaa

Aby znaleźć najmniejszą liczbę naturalną, która ma dokładnie 100 dzielników, należy rozłożyć 100 na czynniki pierwsze. 100 można zapisać jako 2^2 * 5^2. Liczba dzielników danej liczby naturalnej n zależy od jej rozkładu na czynniki pierwsze. Jeśli rozkład na czynniki pierwsze liczby n to n = p1^a1 * p2^a2 * … * pk^ak, gdzie p1, p2, …, pk są różnymi liczbami pierwszymi, a a1, a2, …, ak są dodatnimi liczbami całkowitymi, to liczba dzielników n wynosi (a1+1) * (a2+1) * … * (ak+1). Aby uzyskać 100 dzielników, jedna z liczb pierwszych musi mieć wykładnik równy 4, a druga musi mieć… Czytaj więcej »

Dziadek
Reply to  aaa

Aaa jest blisko, ale nie do konca. Koncowy rozklad na czynniki pierwsze powinien wygladac tak: 100 = 5*5*2*2. (Wszystkie czynniki musza byc pierwsze i MOGA SIE POWTARZAC ! ) Z czterech kolejnych czynnikow rozkladu otrzymujemy cztery wykladniki poteg kolejnych liczb pierwszych, z ktorych iloczynu sklada sie szukana liczba. X = 2^n2 * 3^n3 * 5^n5 * 7^n7 Celowo wprowadzam indeksy przy wykladnikach odpowiadajace kolejnym liczbom pierwszym, (zamiast1-2-3-4) n2= 5-1 = 4; n3= 5-1 = 4; n5= 2-1 = 1; n7= 2-1 = 1 Szukana liczba: X = 2^4 * 3^4 * 5^1 * 7^1 = 45360 ****** Dla 1000 dzielnikow… Czytaj więcej »