Skracanie i rozszerzanie ułamków

Skracanie i rozszerzanie ułamków zwykłych to jedna z podstawowych umiejętności, dlatego zobaczmy jak poprawnie wykonać tę operację i jakich błędów unikać podczas skracania i rozszerzania.

Wyobraźmy sobie sytuację, w której dzielimy np. tort na dwie części, a jedną z tych części podzielimy znowu na pół. Całość będzie wyglądać mniej więcej tak:

porównywanie ułamków zwykłych

Po lewej stronie mamy \(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}\) tortu. Po prawej stronie mamy \(\frac{1}{2}\) tortu. Widzimy wyraźnie, że tortu zaznaczonego brązowym kolorem jest tyle samo co zaznaczonego na biało. To by oznaczało, że ułamek \(\frac{2}{4}\) jest równy \(\frac{1}{2}\).

Na czym polega skracanie i rozszerzanie ułamków zwykłych?
Kiedy licznik i mianownik pewnego ułamka (np. \(\frac{1}{2}\)) pomnożymy przez taką samą liczbę różną od zera, to wartość tego ułamka nie zmieni się. Taką czynność będziemy nazywać właśnie rozszerzaniem ułamków. Przykładowo:

  • Jeżeli licznik i mianownik ułamka \(\frac{1}{2}\) pomnożymy przez \(2\), to dokonamy rozszerzenia ułamka do postaci \(\frac{2}{4}\), a to będzie oznaczać, że \(\frac{1}{2}=\frac{2}{4}\)
  • Jeżeli licznik i mianownik ułamka \(\frac{1}{2}\) pomnożymy przez \(10\), to otrzymamy \(\frac{10}{20}\), tak więc \(\frac{1}{2}=\frac{10}{20}\)
Pamiętaj, że chcąc rozszerzyć ułamek zwykły musimy pomnożyć przez jakąś liczbę zarówno licznik, jak i mianownik!

Działaniem odwrotnym do rozszerzania ułamków będzie ich skracanie. O skracaniu ułamków zwykłych będziemy mówili w przypadku, kiedy licznik i mianownik podzielimy przez taką samą liczbę różną od zera. Podobnie jak w przypadku rozszerzenia ułamków, tak i przy skracaniu wartość takiego ułamka jest cały czas taka sama. Przykładowo:

  • Jeżeli licznik i mianownik ułamka \(\frac{3}{6}\) podzielimy przez \(3\), to dokonamy skrócenia ułamka do postaci \(\frac{1}{2}\), co będzie oznaczało, że \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
  • Jeżeli licznik ułamka \(\frac{5}{20}\) podzielimy przez \(5\), to dokonamy skrócenia ułamka do postaci \(\frac{1}{4}\), a więc \(\frac{5}{20}=\frac{1}{4}\)
Pamiętaj, że chcąc skrócić ułamek zwykły musimy podzielić przez jakąś liczbę zarówno licznik, jak i mianownik!

Czy każdy ułamek da się rozszerzyć?
Tak, każdy ułamek zwykły możemy rozszerzyć – wystarczy tylko pomnożyć licznik i mianownik przez taką samą liczbę różną od zera.

Czy każdy ułamek da się skrócić?
Nie! Tylko niektóre ułamki mają możliwość ich skrócenia. Przykładowo nie da się skrócić ułamków \(\frac{9}{10}\), \(\frac{3}{7}\), \(\frac{1}{2}\). Dlaczego nie da się skrócić tych ułamków? Po prostu nie znajdziemy żadnej takiej liczby (poza jedynką, która niczego nie zmieni), przez którą da się jednocześnie podzielić bez reszty zarówno licznik jak i mianownik. Takie ułamki nazywamy ułamkami nieskracalnymi.

Pamiętaj! Staraj się skracać ułamki do najprostszych (nieskracalnych) form. Nie musisz tego robić w jednym kroku, możesz do tego dochodzić etapami, tak jak my zrobiliśmy to przed chwilą.

Zadania kontrolne:

Zadanie 1. Rozszerz ułamek \(\frac{2}{5}\) w taki sposób, by w mianowniku znalazła się liczba \(20\).

  • Odpowiedź: Aby otrzymać w mianowniku wynik \(20\) musimy pomnożyć licznik i mianownik przez \(4\), dzięki czemu otrzymamy ułamek \(\frac{8}{20}\)
Zadanie 2. Skróć ułamek \(\frac{18}{24}\) do postaci ułamka nieskracalnego.

  • Odpowiedź: Prawidłową odpowiedzią będzie podzielenie licznika i mianownika przez \(6\), dzięki czemu otrzymamy ułamek \(\frac{3}{4}\).
    No dobrze, ale co zrobić, jeśli nie zauważyliśmy tego, że można było skrócić ułamek przez \(6\) i podzieliliśmy licznik i mianownik np. przez \(2\)?
    Jeśli podzieliłeś licznik i mianownik \(\frac{18}{24}\) przez \(2\), to otrzymałeś ułamek \(\frac{9}{12}\), ale to jeszcze nie jest ułamek nieskracalny. Teraz musimy jeszcze pójść o krok dalej i podzielić licznik i mianownik ułamka \(\frac{9}{12}\) przez \(3\), dzięki czemu otrzymamy ułamek \(\frac{3}{4}\), który będzie naszą prawidłową odpowiedzią.

Oto zestaw ćwiczeń i tematów polecanych w tym dziale:

Skracanie ułamków – ćwiczenie
Rozszerzanie ułamków – ćwiczenie

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.