Skracanie i rozszerzanie ułamków

Skracanie i rozszerzanie ułamków zwykłych to jedna z podstawowych umiejętności, dlatego zobaczmy jak poprawnie wykonać tę operację i jakich błędów unikać podczas skracania i rozszerzania.

Wyobraźmy sobie sytuację, w której dzielimy np. tort na dwie części, a jedną z tych części podzielimy znowu na pół. Całość będzie wyglądać mniej więcej tak:

porównywanie ułamków zwykłych

Po lewej stronie mamy \(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}\) tortu. Po prawej stronie mamy \(\frac{1}{2}\) tortu. Widzimy wyraźnie, że tortu zaznaczonego brązowym kolorem jest tyle samo co zaznaczonego na biało. To by oznaczało, że ułamek \(\frac{2}{4}\) jest równy \(\frac{1}{2}\).

Na czym polega skracanie i rozszerzanie ułamków zwykłych?
Kiedy licznik i mianownik pewnego ułamka (np. \(\frac{1}{2}\)) pomnożymy przez taką samą liczbę różną od zera, to wartość tego ułamka nie zmieni się. Taką czynność będziemy nazywać właśnie rozszerzaniem ułamków. Przykładowo:

  • Jeżeli licznik i mianownik ułamka \(\frac{1}{2}\) pomnożymy przez \(2\), to dokonamy rozszerzenia ułamka do postaci \(\frac{2}{4}\), a to będzie oznaczać, że \(\frac{1}{2}=\frac{2}{4}\)
  • Jeżeli licznik i mianownik ułamka \(\frac{1}{2}\) pomnożymy przez \(10\), to otrzymamy \(\frac{10}{20}\), tak więc \(\frac{1}{2}=\frac{10}{20}\)
Pamiętaj, że chcąc rozszerzyć ułamek zwykły musimy pomnożyć przez jakąś liczbę zarówno licznik, jak i mianownik!

Działaniem odwrotnym do rozszerzania ułamków będzie ich skracanie. O skracaniu ułamków zwykłych będziemy mówili w przypadku, kiedy licznik i mianownik podzielimy przez taką samą liczbę różną od zera. Podobnie jak w przypadku rozszerzenia ułamków, tak i przy skracaniu wartość takiego ułamka jest cały czas taka sama. Przykładowo:

  • Jeżeli licznik i mianownik ułamka \(\frac{3}{6}\) podzielimy przez \(3\), to dokonamy skrócenia ułamka do postaci \(\frac{1}{2}\), co będzie oznaczało, że \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
  • Jeżeli licznik i mianownik ułamka \(\frac{5}{20}\) podzielimy przez \(5\), to dokonamy skrócenia ułamka do postaci \(\frac{1}{4}\), a więc \(\frac{5}{20}=\frac{1}{4}\)
Pamiętaj, że chcąc skrócić ułamek zwykły musimy podzielić przez jakąś liczbę zarówno licznik, jak i mianownik!

Czy każdy ułamek da się rozszerzyć?
Tak, każdy ułamek zwykły możemy rozszerzyć – wystarczy tylko pomnożyć licznik i mianownik przez taką samą liczbę różną od zera.

Czy każdy ułamek da się skrócić?
Nie! Tylko niektóre ułamki mają możliwość ich skrócenia. Przykładowo nie da się skrócić ułamków \(\frac{9}{10}\), \(\frac{3}{7}\), \(\frac{1}{2}\). Dlaczego nie da się skrócić tych ułamków? Po prostu nie znajdziemy żadnej takiej liczby (poza jedynką, która niczego nie zmieni), przez którą da się jednocześnie podzielić bez reszty zarówno licznik jak i mianownik. Takie ułamki nazywamy ułamkami nieskracalnymi.

Pamiętaj! Staraj się skracać ułamki do najprostszych (nieskracalnych) form. Nie musisz tego robić w jednym kroku, możesz do tego dochodzić etapami, tak jak my zrobiliśmy to przed chwilą.

Zadania kontrolne:

Zadanie 1. Rozszerz ułamek \(\frac{2}{5}\) w taki sposób, by w mianowniku znalazła się liczba \(20\).

  • Odpowiedź: Aby otrzymać w mianowniku wynik \(20\) musimy pomnożyć licznik i mianownik przez \(4\), dzięki czemu otrzymamy ułamek \(\frac{8}{20}\)
Zadanie 2. Skróć ułamek \(\frac{18}{24}\) do postaci ułamka nieskracalnego.

  • Odpowiedź: Prawidłową odpowiedzią będzie podzielenie licznika i mianownika przez \(6\), dzięki czemu otrzymamy ułamek \(\frac{3}{4}\).
    No dobrze, ale co zrobić, jeśli nie zauważyliśmy tego, że można było skrócić ułamek przez \(6\) i podzieliliśmy licznik i mianownik np. przez \(2\)?
    Jeśli podzieliłeś licznik i mianownik \(\frac{18}{24}\) przez \(2\), to otrzymałeś ułamek \(\frac{9}{12}\), ale to jeszcze nie jest ułamek nieskracalny. Teraz musimy jeszcze pójść o krok dalej i podzielić licznik i mianownik ułamka \(\frac{9}{12}\) przez \(3\), dzięki czemu otrzymamy ułamek \(\frac{3}{4}\), który będzie naszą prawidłową odpowiedzią.

Oto zestaw ćwiczeń i tematów polecanych w tym dziale:

Skracanie ułamków – ćwiczenie
Rozszerzanie ułamków – ćwiczenie
10 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
wikora

Dzięki tej stronie zapomniałam o problemach w szkole szybko rozwiązuje zadania i liczę. Dziękuje za pomoc

Powtórka z matematyki

Trochę łatwe przykłady. Ale młodszym klasom takim jak 3-4 polecam.

JUDY MCcalister

Ładnie wytłumaczone

Starsza siostra

Moja młodsza sis polubiła ułamki, może to rozwiąże :) Zadania są ciekawe, chociaż trochę zbyt proste i mogłoby być ich więcej, ale jak na ćwiczenia i naukę to * perfect *

aaaa

właśnie robiłam przykłady z rozszerzania i zapomniałam jak się rozszerza a teraz już wiem :)

MWK222

wszystko super tylko nie czaje ułamków nieskracalnych

laurraaa
Reply to  MWK222

nauczysz się ja to miałam w 5 klasie a teraz w 8 jestem

wika

fajna stronka można się uczyć

Laura

Fajna strona , polecam.:) Kiedy np. mam poprawę spr. lub kartkówki to właśnie wchodzę na tą stronę i się uczę. Wytłumaczenie jest idealne! Jest rozbudowane,dobrze wyjaśnione itd. :) Chętnie jeszcze będę się uczyła/przypominała dużo rzeczy na tej stronie. :)
Pozdrawiam cieplutko! <333

Godzilla

Lepiej ta strona tłumaczy niż mój nauczyciel