Rozkład liczby na czynniki pierwsze

W tym temacie dowiemy się czym jest tak naprawdę rozkład liczby na czynniki pierwsze, jak go dokonać i na co należy zwracać uwagę, aby uniknąć błędów.

W jednym z poprzednich działów mówiliśmy sobie o tym czym są liczby pierwsze i złożone. Czas więc na wykorzystanie tej wiedzy w praktyce, dzięki której nauczymy się rozkładać liczby na czynniki pierwsze. Okazuje się, że każda liczba złożona (czyli taka, która ma więcej niż dwa dzielniki) ma dość specyficzną i ciekawą własność – można ją przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. Brzmi może dość skomplikowanie, więc spójrzmy na poniższe przykłady:

\(20\) jest liczbą złożoną i możemy ją zapisać jako \(20=2\cdot2\cdot5\). Każdy czynnik w tym działaniu (czyli \(2\) i \(5\)) jest liczbą pierwszą.
Weźmy inną liczbę, np. \(48\). To także jest liczba złożona i też można ją uzyskać mnożąc przez siebie kilka liczb pierwszych: \(48=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\).
Możemy tak przeanalizować KAŻDĄ liczbę złożoną i zawsze uda nam się znaleźć taki komplet liczb pierwszych, który po pomnożeniu da nam oczekiwaną liczbę.

No dobrze, ale skąd mamy wiedzieć co przez co pomnożyć, żeby otrzymać taką liczbę złożoną?
Bez obaw, nie będziemy się uczyć na pamięć każdego przykładu! Właśnie w tym celu musimy poznać rozkład liczby na czynniki pierwsze. Załóżmy, że chcemy rozłożyć na czynniki pierwsze liczbę \(42\).

Krok 1. Zapisujemy sobie liczbę \(42\) oraz stawiamy taką długą pionową kreskę obok niej:
$$
\begin{array}{c|c}
42 & \; \\
\; & \; \\
\; & \; \\
\; & \;
\end{array}
$$

Krok 2. Teraz dzielimy naszą liczbę \(42\) przez liczbę pierwszą, tak aby dzielenie wyszło nam bez reszty. Najprościej jest podzielić sobie tę liczbę przez najmniejszą możliwą liczbę pierwszą (w naszym przypadku będzie to \(2\)), co zapisujemy jako:

$$
\begin{array}{c|c}
42 & 2 \\
21 & \; \\
\; & \; \\
\; & \;
\end{array}
$$

Krok 3. Teraz szukamy takiej liczby pierwszej, która pozwoli nam podzielić liczbę \(21\) bez reszty. Taką liczbą będzie \(3\), więc:

$$
\begin{array}{c|c}
42 & 2 \\
21 & 3 \\
7 & \; \\
\; & \;
\end{array}
$$

Krok 4. Pozostała nam liczba \(7\). Jest to też jednocześnie liczba pierwsza, więc jesteśmy już blisko końca naszego rozwiązania:

$$
\begin{array}{c|c}
42 & 2 \\
21 & 3 \\
7 & 7 \\
1 & \;
\end{array}
$$

Krok 5. Liczby, które wyszły nam po prawej stronie są tak naprawdę rozkładem liczby \(42\) na czynniki pierwsze, co oznacza, że:
$$42=2\cdot3\cdot7$$

Po co rozkładamy liczbę na czynniki pierwsze?
W kolejnym temacie będziemy zajmować się szukaniem największego wspólnego dzielnika dwóch liczb, gdzie umiejętność którą teraz nabyliśmy bardzo się nam przyda.

Zadania kontrolne:

Zobacz także: