Potęgi

Potęgi służą nam do zapisu działania, które jest wielokrotnym mnożeniem przez tą samą liczbę. Żeby lepiej zrozumieć czym są potęgi spójrzmy na poniższe wzory i przykłady:

Potęgi, które mają w wykładniku liczbę naturalną możemy przedstawić w formie:
$$a^n = \underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot…\cdot a}_{n\;razy}\\
a\;\text{- podstawa potęgi}\\
n\;\text{- wykładnik potęgi}$$
Mamy działanie \(2\cdot2\cdot2\). Czy można te działanie przedstawić w formie potęgi?
Tak! To jest właśnie klasyczny przykład, w którym mnożenie liczb możemy zapisać w formie potęgi. W powyższym działaniu mnożymy przez siebie „trzy dwójki”, co w formie potęgi możemy zapisać następująco:
$$2\cdot2\cdot2=2^3=8$$
Kiedy podnosimy jakąś liczbę do potęgi drugiej (np. \(3^2, 5^2, 21^2\) to mówimy potocznie, że jest to kwadrat danej liczby, albo że liczba została podniesiona do kwadratu. Zwrot „Cztery do kwadratu” jest wiec równy \(4^2\).

Kiedy podnosimy jakąś liczbę do potęgi trzeciej (np. \(2^3, 7^3, 112^3\) to mówimy potocznie, że jest to sześcian danej liczby, albo że liczba została podniesiona do sześciany. Zwrot „Siedem do sześcianu” jest wiec równy \(7^3\).

Szczególnymi przypadkami są liczby podnoszone do potęgi „0” i „1”. Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej jest równa 1. Każda liczba podniesiona do potęgi pierwszej nie zmienia swojej wartości.
$$a^0=1\quad (\text{dla } x \neq 0) \\
a^1=a\quad (\text{dla } x\in R)$$
Czasami może się zdarzyć, że wykładnik potęgi nie jest liczbą naturalną (np. chcielibyśmy podnieść liczbę do potęgi ujemnej lub potęgi w formie ułamka). Wtedy musimy skorzystać z następujących wzorów:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad (\text{dla }a\ne 0)\\
a^{\tfrac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\quad (\text{dla }a\ge 0)\\
a^{\tfrac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\quad (\text{dla }a\ge 0)\\
a^{-\tfrac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}\quad (\text{dla }a\gt 0)\\$$

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.