Pole trójkąta

W tym temacie omówimy sobie to w jaki sposób obliczyć pole trójkąta, na co należy zwracać uwagę przy zadaniach z trójkątami oraz poznamy różne wzory na pole trójkąta, począwszy od tych podstawowych, a kończąc na bardzo zaawansowanych.

Wzór na pole trójkąta:
$$P=\frac{1}{2}ah$$
gdzie:
\(P\) – pole trójkąta
\(a\) – długość boku trójkąta
\(h\) – wysokość trójkąta opuszczona na ten bok
pole trójkąta

Przykład 1. Chcemy policzyć pole powierzchni powyższego trójkąta. Jak się do tego zabrać i czego potrzebujemy? W zasadzie musimy uzyskać informacje na temat:
– długości jednego z boków trójkąta
– wysokości trójkąta opuszczonej na ten bok
Mając te dwie informacje jesteśmy już w stanie przystąpić do obliczeń.

W naszym przypadku trójkąt ma następujące wymiary:
\(a=6cm\)
\(h=4cm\)
Pole trójkąta wynosi więc:
$$P=\frac{1}{2}\cdot6cm\cdot4cm=3cm\cdot4cm=12cm^2$$

Nie wydaje się to zbyt trudne, ale jest kilka pułapek, na których dość łatwo jest zgubić punkty. Spójrz na poniższy przykład:

Przykład 2. Podstawa trójkąta jest równa \(4cm\), a wysokość opuszczona na jeden z boków jest równa \(5cm\). Czy to znaczy, że pole trójkąta jest równe \(P=\frac{1}{2}\cdot4cm\cdot5cm=2cm\cdot5cm=10cm^2\)?

pole trójkąta wysokość

Odpowiedź: NIE! Aby obliczyć pole trójkąta musimy mieć długość boku i wysokość, która jest opuszczona na tę podstawę. W naszym przypadku wysokość jest opuszczona z innego boku, niż z tego którego znamy długość, więc nie możemy jej wziąć pod uwagę dokonując obliczeń. W tym przypadku nie jesteśmy w stanie obliczyć pola trójkąta.

Przykład 3. Zostańmy jeszcze na chwilę przy trójkącie z drugiego przykładu. Gdybym Ci powiedział, że jego pole powierzchni jest równe \(12cm^2\), to czy potrafiłbyś podać wysokość, jaka jest opuszczona na bok o długości \(4cm\)? Spójrzmy na dane, którymi dysponujemy:
$$P=12cm^2 \\
a=4cm \\
h=?$$
Zapiszmy sobie te informacje w formie wzoru matematycznego z podstawionymi danymi:
$$\frac{1}{2}\cdot4cm\cdot h=12cm^2 \\
2cm\cdot h=12cm^2$$

Z powyższych obliczeń wynika, że naszą wysokością \(h\) będzie taka liczba, która po pomnożeniu przez \(2\) da wynik równy \(12\). Tabliczkę mnożenia znamy już do perfekcji, więc nie jest to dla nas żaden problem – szukaną liczbą jest oczywiście \(6\). To znaczy, że wysokość naszego trójkąta opuszczona na podstawę o długości \(4cm\) jest równa \(6cm\).

To ostatnie zadanie jest dość istotne, bo pokazuje Ci, że wzór na pole dowolnej figury geometrycznej można wykorzystać nie tylko do obliczenia samego pola, ale także innych długości/wysokości, które nie zostały podane w zadaniu. Miej to zawsze na uwadze i pamiętaj, by obliczając pole zwracać uwagę na to jaka wysokość i długość boku jest podana w treści.

Pamiętaj:
Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok.

Poniżej znajdziesz wszystkie wzory na pole trójkąta w tym te unikatowe, które bardzo często potrafią ułatwić rozwiązywanie nietypowych zadań matematycznych. Te wzory przydadzą Ci się w szczególności w gimnazjum, technikum i liceum:

Wzory na pole trójkąta:Przykład trójkąta:
Podstawowy wzór na pole trójkąta:

pole trójkąta
a - długość podstawy trójkąta
h - długość wysokości (opuszczonej na bok a)
wysokość trójkąta
Wzór na pole trójkąta z sinusem

pole trójkąta
a, b - długości boków trójkąta
α - kąt pomiędzy bokami a i b
trójkąt sinus
Wzór na pole trójkąta wpisanego w okrąg:

pole trójkąta
a, b, c - długości boków trójkąta
R - długość promienia okręgu opisanego na trójkącie
okrąg opisany na trójkącie
Wzór na pole trójkąta wpisanego w okrąg (podane kąty):

pole trójkąta
α, β, γ - kąty trójkąta
R - długość promienia okręgu opisanego na trójkącie
trójkąt wpisany w okrąg
Wzór na pole trójkąta opisanego na okręgu:

pole trójkąta
r - długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt
p - połowa sumy długości wszystkich boków trójkąta (połowa obwodu trójkąta)
okrąg wpisany w trójkąt
Wzór Herona:

pole trójkąta
a, b, c - długości boków trójkąta
p - połowa sumy długości wszystkich boków trójkąta (połowa obwodu trójkąta)
wzór herona

Jeśli chcesz poćwiczyć obliczanie pola trójkąta lub też uzupełnić wiedzę w tym temacie, to polecam Ci następujące tematy:

Oblicz pole trójkąta – ćwiczenie

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.