Najmniejsza wspólna wielokrotność

W tym temacie powiemy sobie o tym czym jest najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) oraz poznamy kilka sposobów na jej skuteczne (i szybkie) wyznaczenie. Dowiemy się także po co właściwie wyliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb.

Co to jest najmniejsza wspólna wielokrotność?
Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) to taka liczba, która jest większa od zera i jest jednocześnie najmniejszą wspólną wielokrotnością dwóch lub większej ilości liczb. Spróbujmy wyznaczyć NWW dla liczb \(6\) i \(15\), wypisując kilka wielokrotności:
$$W_{6}=6,12,18,24,30,36,42… \\
W_{15}=15,30,45…$$

Widzimy wyraźnie, że liczba \(30\) jest najmniejszą wielokrotnością, która powtórzyła się w rozpisce dla liczb \(6\) i \(15\). Stąd też wniosek, że:
$$NWW (6;15)=30$$

To co wykonaliśmy przed chwilą jest najprostszym sposobem na wyznaczenie NWW, ale metoda ta sprawdza się głównie w przypadku małych liczb i prostych działań. A co w sytuacji, w której wypisywanie wielokrotności każdej z liczb jest trudne i czasochłonne? Wtedy możemy posłużyć się jednym z dwóch sposobów:

I sposób – korzystając z rozkładu liczb na czynniki pierwsze:
Chcemy wyznaczyć NWW liczb \(12\) i \(18\).

Krok 1. Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze (jeśli nie wiesz jak tego dokonać, to na dole strony znajdziesz link do odpowiedniego tematu):
$$12=2\cdot2\cdot3 \\
18=2\cdot3\cdot3$$

Krok 2. Z liczby \(18\) skreślamy te czynniki, które wystąpiły w liczbie \(12\), przy czym każdego skreślenia dokonujemy tylko raz. Najpierw kolorem czerwonym skreślimy więc dwójkę (bo występuje w rozkładzie zarówno \(12\) jak i \(18\)), a potem kolorem niebieskim jedną z trójek (bo także się powtarzają).
$$\require{cancel} 12=\color{red}{2}\cdot2\cdot\color{blue}{3} \\
18=\color{red}{\cancel{2}}\cdot\color{blue}{\cancel{3}}\cdot3$$

Krok 3. Łączymy czynniki z obydwu liczb, które pozostały nam nieskreślone i wymnażamy je przez siebie:
$$2\cdot2\cdot3\cdot3=36$$

Z naszych obliczeń wynika, że:
$$NWW (12;18)=36$$

Sposób II – z użyciem największego wspólnego dzielnika (NWD)
Chcemy wyznaczyć NWW liczb \(12\) i \(18\).

W tym sposobie wykorzystamy sobie NWD (jeśli nie wiesz co to jest i jak się to wylicza, to na dole strony znajdziesz odpowiedni temat).

Krok 1. Obliczamy NWD liczb 12 i 18.
Największym wspólnym dzielnikiem tych liczb jest oczywiście 6, więc zapisujemy:
NWD (12, 18)=6

Krok 2. Korzystamy ze wzoru na NWW:
$$NWW(a,b)=\frac{a\cdot b}{NWD(a,b)}$$

Podstawiając nasze liczby do tego wzoru otrzymamy:
$$NWW(12,18)=\frac{12\cdot 18}{NWD(12,18)} \\
NWW(12,18)=\frac{\cancelto{2}{12}\cdot 18}{\cancelto{1}{6}} \\
NWW(12,18)=2\cdot18 \\
NWW(12,18)=36$$

Do czego przydaje się wyznaczenie NWW?
Z NWW będziemy korzystać głównie w dziale ułamków zwykłych, kiedy będziemy chcieli wykonać np. operację dodawania, do której to potrzebujemy wspólnych mianowników obydwu ułamków. Wtedy niezbędne będzie wykonanie rozszerzenia ułamka w czym pomoże nam NWW (bo dzięki temu szybko znajdziemy pasujący wspólny mianownik dla obydwu ułamków).

Tematy i ćwiczenia, które mogą przydać Ci się w tym dziale:

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.