Mnożenie i dzielenie liczb ujemnych (całkowitych)

Znając dodawanie i odejmowanie liczb ujemnych bez problemu przyjdzie nam zrozumieć istotę mnożenia i dzielenia. Zwłaszcza z mnożeniem nie powinieneś mieć problemów, wszak przypomnę Ci, że mnożenie to tak naprawdę wielokrotne dodawanie tej samej liczby. Dlatego też zanim zaczniemy ten temat to upewnij się, że dobrze opanowałeś poprzednią partię materiału, bo jeśli nie rozwiejesz swoich wątpliwości w dodawaniu i odejmowaniu, to będziesz mieć problemy także z mnożeniem i dzieleniem.

Mnożenie liczb ujemnych

Przykład 1. Chcemy obliczyć iloczyn liczb \(5\cdot(-3)\). Jak się do tego zabrać? Żeby zobrazować sobie to działanie, to rozpiszmy mnożenie jako dodawanie, czyli:
$$5\cdot(-3)=-3+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-15$$
Przykład 2. Podobna sytuacja jest w przypadku mnożenia \(-5\cdot3\) lub \(3\cdot(-5)\) (pamiętaj, że mnożenie jest przemienne). Tu także zamieńmy sobie mnożenie na dodawanie i otrzymamy:
$$-5\cdot3=3\cdot(-5)=-5+(-5)+(-5)=-15$$

Jednak nie zawsze zamiana mnożenia na dodawanie jest wygodna, więc warto na podstawie naszych przykładów stworzyć pewne reguły:

Gdy mnożymy dwie liczby:

  • Iloczyn dwóch liczb o różnych znakach jest liczbą ujemną.
  • Iloczyn dwóch liczb o tych samych znakach jest liczbą dodatnią.

Gdy mnożymy więcej niż dwie liczby:

  • Iloczyn zawierający liczby ujemne jest liczbą ujemną, kiedy liczba czynników ze znakiem minusa jest nieparzysta.
  • Iloczyn zawierający liczby ujemne jest liczbą dodatnią, kiedy liczba czynników ze znakiem minusa jest parzysta.

Co nam ta wiedza daje? Okazuje się, że wystarczy pomnożyć przez siebie dwie liczby, tak jakby były one liczbami dodatnimi, a następnie sprawdzić czy miały różne znaki. Jeśli tak, to stawiamy przed wynikiem znak minusa. Jeśli mnożymy przez siebie więcej niż dwie liczby, wtedy sprawdzamy ile z nich jest liczbami ujemnymi – jeśli jest ich nieparzysta ilość to wtedy także wynik będzie ujemny, jeśli parzysta to wtedy wynik będzie dodatni.

W poniższych przykładach wynik jest ujemny, bo jest nieparzysta ilość liczb ze znakiem ujemnym:
$$5\cdot(-3)=-15 \\
-5\cdot3=-15 \\
2\cdot5\cdot(-3)=-30 \\
-2\cdot(-5)\cdot(-3)=-30$$

Natomiast w poniższych przykładach wynik jest dodatni, bo jest parzysta ilość liczb ze znakiem ujemnym:
$$-5\cdot(-3)=15 \\
2\cdot(-5)\cdot(-3)=30$$

Dzielenie liczb ujemnych
Zasady dotyczące dzielenia są niemalże identyczne do tych z mnożenia:

Gdy dzielimy dwie liczby:

  • Iloraz dwóch liczb o różnych znakach jest liczbą ujemną.
  • Iloraz dwóch liczb o tych samych znakach jest liczbą dodatnią.

Gdy dzielimy więcej niż dwie liczby:

  • Iloraz zawierający liczby ujemne jest liczbą ujemną, kiedy liczba czynników ze znakiem minusa jest nieparzysta.
  • Iloraz zawierający liczby ujemne jest liczbą dodatnią, kiedy liczba czynników ze znakiem minusa jest parzysta.

W związku z tym w poniższych przykładach wynik jest ujemny, bo jest nieparzysta ilość liczb ze znakiem ujemnym:
$$6:(-3)=-2 \\
-6:3=-2 \\
6:(-3):2=-1 \\
-6:3:2=-1$$

Natomiast w tych przykładach wynik jest dodatni, bo jest parzysta ilość liczb ze znakiem ujemnym:
$$-6:(-3)=2 \\
-6:(-3):2=1$$

Zadania kontrolne:

Zadanie 1. Czy wynik mnożenia \(4\cdot(-3)\cdot(-7)\) jest liczbą dodatnią, czy ujemną?

  • Odpowiedź: Nie musimy niczego liczyć – mamy dwa czynniki, które są liczbami ujemnymi (\(-3\) oraz \(-7\)), więc zgodnie z naszymi regułami wynik jest na pewno dodatni.
Zadanie 2. Które działanie da nam większy wynik?
$$-64:(-8) \text{ czy } -2\cdot(-2)\cdot(-2)+1$$

  • Odpowiedź: Wynik dzielenia \(-64:(-8)\) jest liczbą dodatnią:
    $$-64:(-8)=8$$

    Wynik mnożenia \(-2\cdot(-2)\cdot(-2)\) jest za to liczbą ujemną:
    $$-2\cdot(-2)\cdot(-2)+1=-8+1=-7$$

    Większy wynik otrzymaliśmy więc w pierwszym działaniu i wiedzieliśmy to nawet bez dokonywania obliczeń.

Zobacz także inne tematy związane z liczbami ujemnymi:

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.