Dodawanie i odejmowanie potęg

Dodawanie potęg (podobnie jak odejmowanie) przysparza bardzo wielu problemów, więc spróbujmy wyjaśnić sobie wszelkie wątpliwości jakie mogą się nam przytrafić przy wykonywaniu tych działań.

Problem z dodawaniem potęg bierze się przede wszystkim z tego, że nie mamy żadnego wzoru czy też zasady, która dotyczyłaby tej operacji matematycznej (wzory na mnożenie i dzielenie potęg znajdziesz na dole tego wpisu). Zanim jednak przejdziemy do wyjaśnienia jak zachować się przy dodawaniu i odejmowaniu potęg odpowiedzmy sobie na bardzo proste pytanie: Ile wynosi suma dwóch niewiadomych \(x\)? Oczywiście jest to:

$$x+x=2x$$

Powyższe zadanie teoretycznie nie jest związane z potęgami, ale posłuży nam do zrozumienia czym tak naprawdę jest dodawanie i odejmowanie potęg. Spójrzmy na poniższy przykład:

Przykład 1. Jak obliczyć działanie \(5^2 + 5^2\)?

Korzystamy z przykładu, który obliczaliśmy przed chwilą, ale zamiast dodawać niewiadomą „\(x\)” podstawmy tam naszą liczbę w potędze, czyli \(5^2\). Co otrzymamy?
$$\text{Skoro }x+x=2x, \quad\text{to:}\\
5^2+5^2=2\cdot5^2$$

W tym momencie tak naprawdę można już powiedzieć, że wykonaliśmy poprawnie dodawanie dwóch potęg. Możemy jeszcze w miarę możliwości policzyć dokładny wynik takiego działania, choć zazwyczaj nie jest to konieczne (a czasem nawet nie jest wskazane).

Przykład 2. Spróbujmy teraz dodać do siebie \(2 \cdot 5^2 + 5^2\). Jak się do tego zabierzemy? Dokładnie tak samo, jak robiliśmy to powyżej:

$$\text{Skoro }2x+x=3x, \quad\text{to:}\\
2\cdot5^2+5^2=3\cdot5^2$$

I tutaj podobnie jak to miało miejsce w przykładzie pierwszym – często powyższy zapis będzie wystarczający (zwłaszcza jak wymagany będzie od nas wynik w postaci potęgi).

Podobnie jak dodawanie będziemy wykonywali odejmowanie potęg:

Przykład 3. Oblicz: \(4\cdot5^2-5^2\)

$$\text{Skoro }4x-x=3x, \quad\text{to:}\\
4\cdot5^2-5^2=3\cdot5^2$$

Generalnie zdecydowana większość zadań związanych z dodawaniem i odejmowaniem potęg z jakimi się spotkasz będzie częścią jakiegoś większego działania (np. rozbudowanego ułamka). W tego typu przypadkach prawie zawsze trzeba będzie pozostawiać liczby w formie potęgi i szukać jakichś zależności, które potem wynikną z mnożenia lub dzielenia potęg (przypominam Ci, że kreska ułamkowa jest tak naprawdę dzieleniem).

Czasem jednak Autorzy zadań stworzą przykład, w którym trzeba będzie zrobić jeden krok więcej niż robiliśmy to w przykładach 1-3. Spójrzmy na zadanie:

Przykład 4. Zapisz w postaci potęgi liczby \(2\) sumę \(2^3+2^3+2^3+2^3\).

Cały czas robimy analogicznie:
$$\text{Skoro }x+x+x+x=4x, \quad\text{to:} \\
2^3+2^3+2^3+2^3=4\cdot2^3$$

Ale to nie koniec, bo możemy ten końcowy zapis jeszcze uprościć, zamieniając liczbę \(4\) na \(2^2\), co pozwoli nam wykonać mnożenie potęg, spójrz:
$$4\cdot2^3=2^2\cdot2^3=2^{2+3}=2^5$$

Jeśli nie pamiętamy jak się mnożyło potęgi o tych samych podstawach (a ta wiedza nam się przed chwilą przydała), to zawsze możemy się uratować następującym zapisem:
$$2^2\cdot2^3=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^5$$

Przykład 5. Zapisz w jak najprostszej postaci wynik działania: \(5\cdot3^{100}-2\cdot3^{100}\).

Zadanie to wykorzystuje całą wiedzę, którą zdobyliśmy przed chwilą i jest bardzo zbliżone do zadania z przykładu czwartego.

Krok 1. Obliczamy różnicę:
$$5\cdot3^{100}-2\cdot3^{100}=3\cdot3^{100}$$

Krok 2. Zamieniamy \(3\) na zapis \(3^1\), czyli:
$$3\cdot3^{100}=3^1\cdot3^{100}$$

Krok 3. Wykonujemy mnożenie potęg o tej samej podstawie:
$$3^1\cdot3^{100}=3^{1+100}=3^{101}$$

Może się nam też przytrafić zadanie, w którym musimy dodać lub odjąć od siebie liczby, który mają identyczną podstawę potęgi, a różny wykładnik. Jak sobie z tym poradzić?

Przykład 6. Oblicz \(11^{32}-11^{30}\).

Gdybyśmy mieli tutaj mnożenie lub dzielenie, to sprawa byłaby bardzo prosta, bo dodalibyśmy lub odjęlibyśmy wykładnik potęgi. Ale co zrobić kiedy mamy odejmowanie (lub dodawanie)? Najlepszym wyjściem byłoby wyciągnięcie jednej z potęg przed nawias i zamienienie tego odejmowania na mnożenie:

$$11^{32}-11^{30}=11^{30}\cdot(11^2 – 1)$$

Ewentualnie można jeszcze obliczyć wartość w nawiasie i całość zapisać już jako:
$$11^{30}\cdot(11^2 – 1)=11^{30}\cdot(121-1)=11^{30}\cdot 120$$

Tego typu przykład jest prawdopodobnie częścią jakiegoś większego działania, gdzie coś się ze sobą skróci, dlatego też musimy przeanalizować do której z form powinniśmy dążyć.

Pamiętaj! Dodawanie i odejmowanie potęg nie jest proste i bardzo często wymaga przeanalizowania konkretnego przykładu w którym się pojawia. Staraj się dążyć do upraszczania zapisów, wyłączania liczb przed nawias i ewentualnego skracania poszczególnych wartości.
Nie myl dodawania i odejmowania potęg z mnożeniem i dzieleniem!
$$15^7+15^7=2\cdot15^7 \\
15^7\cdot15^7=15^{7+7}=15^{14}$$

Poniżej znajdziesz omówienie mnożenia i dzielenia potęg, które są dużo prostszymi działaniami:

Zobacz także: Mnożenie potęg
Zobacz także: Dzielenie potęg

16 komentarzy

  1. Martunia

    nareszcie ktoś mi to wytłumaczył :) wielkie dzięki teraz już rozumiem że źle wszystko robiłam bo myliłam zasady dodawania potęg z ich mnożeniem

    • SzaloneLiczby
      Admin

      Jesteś pewny, że w tym działaniu jest odejmowanie? Gdyby było tam dzielenie, to korzystając z zasad przy dzieleniu potęg otrzymalibyśmy wynik 11^2=121 :)

      Jeśli tam jest faktycznie odejmowanie to w takim przypadku najlepiej jest chyba pokombinować z zamianą tego odejmowania na następujące mnożenie:
      11^32-11^30=11^30*(11^2 – 1)
      Prawdopodobnie jest to jakaś część większego działania i w tym momencie coś się ze sobą skrócić, otwierając nam prostą drogę do wyniku :)

    • SzaloneLiczby
      Admin

      Tak pomyślałem, że warto zrobić pełne omówienie Twojego przykładu, bo jest rzeczywiście dość specyficzny, więc dodałem go do głównego tekstu :) Pozdrawiam!

    • SzaloneLiczby
      Admin

      Nie można podać ani definicji, ani wzoru, bo na dodawanie i odejmowanie potęg po prostu takich nie ma. Wzory i definicje można podać za to na mnożenie lub dzielenie (i są one podane w odpowiednich tematach). Dlatego też temat ten jest dość trudny, bo wymaga od nas przeanalizowania sytuacji, a nie podstawienia liczb do jakiegoś wzoru.

      Poza tym istotą tej strony nie jest powielanie regułek, bo te znajdziesz wszędzie, a potem o nich zapomnisz (o czym świadczy chociażby fakt, że szukałeś/aś pomocy w Internecie). Istotne tutaj jest to, żeby pokazać skąd to wszystko się bierze i jak do tego wszystkiego dojść samodzielnie w sytuacji, którą spotkasz za tydzień, miesiąc czy też za rok :) Pozdrawiam!

      • gośka

        mi się podoba bo wszystko opisane jest bardzo dobrze i w końcu nie są to suche fakty żywcem wyciągniete z podrecznika tylko w sposób zrozumiały przedstawiony temat

    • betts

      Jak ktoś chce się uczyć matematyki tylko z definicji to powodzenia życzę. Ja tam wolę dany materiał zrozumieć a nie wykuć, dlatego mi taka forma jak jest tutaj bardzo odpowiada.

  2. Wiktoria

    Chyba w końcu to rozumiem, na całe szczęście, bo jutro mam z tego kartkówkę i z pierwiastków jeszcze ;-;
    Mega, ale przydałyby się jakieś przykłady do samodzielnego liczenia i gdzieś tam dalej odpowiedzi np. zrobiłabym powiedzmy źle przykład to czytam znowu co jest napisane i próbuję aż do skutku – poprawnego wyniku.

    • SzaloneLiczby
      Admin

      Wielkie dzięki za miłe słowa! Odnośnie Twojej prośby to mam dobrą wiadomość – właśnie pracuję nad gigantyczną bazą ćwiczeń dla uczniów gimnazjum i tam temat działań na potęgach będzie oczywiście uwzględniony. Niedawno dodałem na stronę kilkaset(!) ćwiczeń dla uczniów szkół podstawowych (można je znaleźć w menu na górze strony) i dopiero od kilku tygodni programuję ćwiczenia dla gimnazjum, stąd też jeszcze trochę czasu na to potrzebuję :)

      Trzymam kciuki i życzę powodzenia na kartkówce!

    • Anonim

      Szalone liczby, wow trafiłem na tego bloga bo szukałem ćwiczeń do potęg i tak czytam komentarze i mówisz że nie długo dodasz do gimnazjum, patrzę – nie ma no to myślę, iż pewnie blog sprzed nastu lat i nigdy się nie doczekam a tu niespodzianka komentarz z 9.10 :O mam nadzieję że ćwiczenia zostaną dodane blog jest pisany świetnie widać że nie kopia podręcznika i życzę powodzenia :D
      P.S. tak, wiem, moja wypowiedź jest chaotyczna

      • SzaloneLiczby
        Admin

        Witaj! Nawet nie wiesz jak miło mi czytać takie komentarze, to naprawdę daje całą masę pozytywnej energii do dalszego działania :) Tak jak mówisz – wszystkie treści staram się prezentować najdokładniej jak się tylko da, co niestety jest czasochłonne. Ale wolę robić to powoli krok po kroku, niż na szybko tworzyć coś, co będzie powieleniem tego co już jest w sieci i w podręcznikach.

        Ćwiczenia dla gimnazjum będą dosłownie na dniach (już je opracowałem i zaprogramowałem, chcę je jeszcze przetestować). Myślę, że już w przyszłym tygodniu pojawi się zakładka Gimnazjum, a w niej będzie około 50 ćwiczeń przygotowanych specjalnie dla Was. Z czasem pewnie dojdą jeszcze nowe rzeczy, tak więc będzie się działo :)

        A co do wieku bloga – na dniach będzie obchodził drugie urodziny ;) I z tej okazji mam dla Ciebie… niespodziankę! Jeśli zajrzysz tutaj jeszcze, to napisz do mnie przez zakładkę „Kontakt” z tego samego komputera co teraz (wtedy poznam Cię po IP). Otrzymasz ode mnie kubek Szalonych Liczb z komiksową grafiką – taki prezent urodzinowy :)

        Pozdrawiam!

  3. jejeje

    piszę na gorąco po teście i chce powiedzieć ogromne DZIĘKIII ! sporo z tego powtórzyło się u mnie w rzędzie i dokładnie tak jak tu rozpisałam sobie każdy przykład

    • SzaloneLiczby
      Admin

      Domyślam się, że pytanie dotyczy Przykładu 6.

      Chodzi o to, by zapisać to odejmowanie (lub dodawanie) w formie mnożenia, wyłączając jakąś wspólną część przed nawias. Mając takie odejmowanie (lub dodawanie) np. w dużym ułamku zazwyczaj nie jesteśmy w stanie nic sensownego z nim zrobić. Dlatego też dążymy do tego mnożenia, bo przy mnożeniu (lub dzieleniu) potęg mamy znacznie więcej możliwości jeśli chodzi o skracanie lub upraszczanie działań.

      Ta jedynka pojawiła się dlatego, że 11^30 • 1 = 11^30. Dzięki temu wymnażając 11^30 przez wartość w nawiasie (pamiętając o minusie, który się tam znalazł) otrzymamy 11^32-11^30.

      Oczywiście gdyby było 11^32+11^30 to mielibyśmy analogicznie 11^30 • (11^2 + 1).

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.