Co musisz wiedzieć o mnożeniu i dzieleniu?

Aby móc sprawnie rozwiązywać różne zadania matematyczne musisz obowiązkowo znać tabliczkę mnożenia (a tym samym tabliczkę dzielenia). Bez tego niestety nie ma szans, byśmy mogli pójść dalej. Jeżeli więc jeszcze nie czujesz się zbyt pewnie w tym temacie, to musisz nadrobić te zaległości, bo w przeciwnym wypadku zawsze będziesz napotykać na swojej matematycznej drodze różne trudności. W tym celu zapraszam Cię do gier matematycznych, które pozwolą Ci poćwiczyć mnożenie i dzielenie do perfekcji:

Co musisz wiedzieć o mnożeniu i dzieleniu?

Zakładam więc, że znasz już tabliczkę mnożenia, ale być może nie zwróciłeś uwagi na pewne jej własności i to jest właśnie czas na uporządkowanie sobie całej wiedzy.

Przykład 1. Zacznijmy od prostego przykładu, w którym chcemy poznać iloczyn liczb \(8\) i \(4\).

Tu oczywiście problemu nie ma i dobrze wiesz, że \(8\cdot4=32\). Warto jednak zauważyć, że gdybyśmy zamienili miejscami \(8\) i \(4\), to w dalszym ciągu wynik będzie taki sam, bo \(4\cdot8\) także jest równe \(32\).

Wniosek z tego płynie taki, że mnożenie jest przemienne (dokładnie tak jak dodawanie)! Podobnie jak w przypadku dodawania, tak i w mnożeniu będziemy wykorzystywać tę wiedzę do upraszczania sobie różnych działań matematycznych, zwłaszcza że mnożenie jest także łączne, co pozwoli nam dowolnie grupować poszczególne składniki.

Przykład 2. Wiemy już, że mnożenie jest przemienne i łączne, ale co z dzieleniem – czy posiada takie same własności?

NIE! Nie możemy zamienić kolejnością dzielnej i dzielnika, bo dzielenie nie jest przemienne. To znaczy, że inny wynik wyjdzie nam, kiedy podzielimy \(24:6\), a inny kiedy podzielimy \(6:24\). W tym pierwszym przypadku otrzymamy wynik równy \(4\) (\(24:6=4\)). Wynik tego drugiego działania na razie dla Ciebie pozostanie małą tajemnicą, ale mogę Ci obiecać że po ukończeniu czwartej klasy będziesz potrafił także i takie działania wykonywać. Na dziś musisz wiedzieć, że kolejność zapisu liczb w dzieleniu ma ogromne znaczenie.

Przykład 3. Mnożenie, to tak naprawdę uproszczony zapis wielokrotnego dodawania tych samych liczb. Jeśli chcemy dodać do siebie \(5+5+5+5\), to możemy to zapisać jako \(4\cdot5\). Jeżeli więc kiedykolwiek będziesz mieć problem z wykonaniem jakiegoś mnożenia, to możesz je sobie zamienić na dodawanie. Na pierwszy rzut oka wydaje się to prostą i mało istotną informacją, ale pokażę Ci do czego to można wykorzystać.

Załóżmy, że musimy pomnożyć przez siebie dwie liczby: \(12\) i \(8\). Tabliczka mnożenia standardowo nie obejmuje mnożenia z liczbą \(12\), więc z pamięci trudno jest nam podać prawidłowy wynik. Co więc możemy zrobić? Skorzystamy właśnie z tego, co przed chwilą sobie napisaliśmy. Skoro mnożenie \(12\cdot8\) jest równe dodaniu dwanaście razy ósemki (lub osiem razy dwunastki – wszak mnożenie i dodawanie są przemienne), to możemy najpierw dodać dziesięć takich ósemek, a potem jeszcze dwie (łącznie dwanaście).

Dziesięć ósemek to \(10\cdot8=80\).
Dwie ósemki to \(2\cdot8=16\).
Łącznie wyjdzie nam więc \(80+16=96\) i taki też będzie wynik mnożenia \(12\cdot8\).

Jeśli masz trudność z wyobrażeniem sobie tego, to poniższy zapis matematyczny rozwiąże wszelkie wątpliwości:
$$12\cdot8=\color{blue}{8+8+8+8+8+8+8+8+8+8}\color{green}{+8+8}$$
Na niebiesko mamy zaznaczone dziesięć ósemek, a na zielono jeszcze dwie ósemki. Suma niebieskich ósemek jest równa \(80\), a zielonych \(16\), co daje łącznie \(96\).

Przykład 4. Musimy wykonać działanie \(48:4\). Jak to rozwiązać, skoro takiego przykładu nie było w tabliczce mnożenia i dzielenia?

Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia, musimy więc sobie odpowiedzieć na pytanie ile to czwórek mieści się w liczbie \(48\). Wiemy na pewno, że w \(40\) takich czwórek zmieści się \(10\), bo \(40:4=10\). No ale \(40\), to nie \(48\) – brakuje nam jeszcze \(8\). To nie jest problem, bo wiemy też, że w liczbie \(8\) zmieszczą się dwie dodatkowe czwórki (bo \(8:4=2\)). Jeśli te dwie czwórki dodamy do dziesięciu, które obliczyliśmy przed chwilą, to łącznie będzie ich \(12\). Taki też jest wynik dzielenia \(48:4=12\).

Przykład 5. I na koniec chyba najprostsze zasady:

  • Jeżeli jakąś liczbę pomnożymy przez \(0\), to wynik takiego mnożenia jest zawsze równy zero np.:
  • $$7\cdot0=0 \\
    0\cdot5=0$$

  • O ile możemy mnożyć przez \(0\), o tyle dzielenie przez \(0\) w matematyce nie istnieje!

Kiedy po raz pierwszy poznajesz ten temat będziesz prawdopodobnie mnożyć i dzielić przez siebie tylko dwie liczby, ale musisz wiedzieć, że jest możliwe mnożenie i dzielenie przez siebie także większej ilości liczb np. trzech. Dzisiaj się tym nie będziemy zajmować, ale chcę byś miał to na uwadze, że mnożenie nie kończy się tylko i wyłącznie na tabliczce mnożenia.

Zadania kontrolne:

Zadanie 1. Czy iloczyn dwóch liczb jednocyfrowych może dać nam liczbę jednocyfrową?

  • Odpowiedź: Tak! Jest kilka takich par, chociażby \(3\cdot2=6\), albo \(1\cdot8=8\)
Zadanie 2. Ile wynosi iloczyn liczb \(14\) i \(7\)?

  • Odpowiedź: Iloczyn to mnożenie! Mam nadzieję, że nie pomyliłeś tego z dzieleniem, sugerując się ładnym wynikiem dzielenia \(14:7=2\). Nigdy, ale to nigdy nie daj się złapać w takie pułapki, zwłaszcza że kilka lekcji wcześniej mówiliśmy o tym bardzo dokładnie.
    Prawidłowy wynik to \(14\cdot7=98\)
    (Można było najpierw wymnożyć \(10\cdot7=70\), a potem dodać do tego \(4\cdot7=28\), co daje łącznie \(70+28=98\))
Zadanie 3. Korzystając z dowolnych sposobów podaj prawidłowy wynik trzech działań:
a) \(16\cdot6=\)
b) \(3\cdot13=\)
c) \(75:5=\)

  • Odpowiedź:
    a) \(16\cdot6=111196\)
    b) \(3\cdot13=11139\)
    c) \(75:5=11115\)

Zobacz także:

Dzielenie z resztą – ćwiczenie
Mnożenie pisemne – ćwiczenie
Dzielenie pisemne – ćwiczenie

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.