Co musisz wiedzieć o dodawaniu i odejmowaniu?

Myślę, że zarówno dodawanie jak i odejmowanie nie sprawiają Ci już większych trudności. Jest jednak coś, co chciałbym z Tobą przećwiczyć jeszcze raz, bo pewne rzeczy mogły Ci wcześniej umknąć…

Przykład 1. Chcemy dodać do siebie dwie liczby: \(7\) i \(2\). Czy ma znaczenie którym z poniższych sposobów wykonamy to działanie?
$$7+2=?\\
2+7=?$$

W obydwu przypadkach uzyskamy ten sam wynik i będzie to oczywiście \(9\). Dodawanie ma tę własność, że jest przemienne, a to z kolei oznacza że nie ma znaczenia w jakiej kolejności dodamy do siebie liczby, bo wynik będzie taki sam.

Przykład 2. Wiemy już, że dodawanie jest przemienne, ale czy odejmowanie ma także taką samą właściwość? NIE!

W przypadku odejmowania ma znaczenie, która liczba stoi przed znakiem, a która jest po znaku (czyli która jest odjemną, a która odjemnikiem). Przykładowo:
\(7-2=5\), ale \(2-7\) nie jest równe \(5\) (jeszcze tego nie wiesz, ale wynik tego działania będzie liczbą ujemną).

Wniosek jest bardzo prosty: O ile w przypadku dodawania możemy sobie zamieniać liczby miejscami, o tyle w odejmowaniu nie możemy tego robić!

Przykład 3. Co tak naprawdę daje nam przemienność dodawania? Można byłoby potraktować przemienność dodawania jako ciekawostkę, gdyby nie fakt że jest to bardzo przydatna własność. Spójrzmy na poniższy przykład:
$$14+9+16=$$

Pewnie jesteś w stanie wykonać powyższe dodawanie i po chwili zastanowienia podać prawidłowy wynik, a będzie to oczywiście \(39\). Jednak musisz przyznać, że rozwiązywanie tego przykładu nie należało do najprzyjemniejszych, bo powiedzmy sobie szczerze, ale łatwo tu jest o pomyłkę. Chwila nieuwagi i nagle się okazuje, że zamiast \(39\) wyszło nam coś innego. A spójrzmy na poniższy przykład:
$$14+16+9=$$

To są te same liczby, tylko że ustawione w innej kolejności. Czy przypadkiem teraz nie jest prościej dodać do siebie te liczy? Jasne że teraz jest łatwiej, bo dwie pierwsze liczby dają nam sumę \(30\), do tego dodajemy jeszcze \(9\) i łączny wynik to \(39\). To samo zadanie nagle okazuje się znacznie prostsze do policzenia w pamięci…

Właśnie do tego będziemy wykorzystywać przemienność dodawania – będziemy układać liczby w taki sposób, by liczenie było jak najprostsze i by dzięki temu popełniać mniej błędów. Może jeszcze dzisiaj wydaje się to mało istotne, ale uwierz, że w niedalekiej przyszłości będziesz bazować na nieco trudniejszych liczbach i tam każde tego typu uproszczenie może być na wagę złota.

To co przed chwilą zrobiliśmy jest też przykładem wykorzystania drugiej cechy dodawania, czyli łączności. Łączność dodawania polega na tym, że grupujemy ze sobą różne składniki w taki sposób, by coś sobie uprościć (np. by połączone liczby sumowały się do pełnej liczby).

Przykład 4. Dodawanie i odejmowanie małych liczb masz pewnie opanowane bardzo dobrze, ale co z większymi liczbami? Zmierzmy się teraz z takim zadaniem: chcemy do siebie dodać \(29\) i \(53\). Jak się do tego zabrać? Są dwa proste sposoby, które pozwolą uniknąć Ci pomyłek:

I sposób:
Prawdopodobnie większość z Was korzysta właśnie z tego sposobu przy dodawaniu lub odejmowaniu większych liczb, więc od niego zaczniemy. Możemy sobie rozbić drugą liczbę (czyli \(53\)) na \(50+3\), dzięki czemu dodawanie będzie bardzo proste, bo do liczby \(29\) dodamy najpierw \(50\) (co jest bardzo łatwe), a dopiero potem dodamy jeszcze brakujące \(3\):
$$29+53=29+50+3=79+3=82$$

II sposób:
Rozbijamy nasze liczby na dziesiątki i jedności, wiedząc że \(29\) to tak naprawdę \(20+9\), a \(53\) to \(50+3\). Teraz dodajemy do siebie te wszystkie cztery składniki, korzystając oczywiście z przemienności i łączności dodawania:
$$29+53=20+9+50+3=20+50+9+3=70+12=82$$

Pierwszy sposób jest znacznie szybszy, drugi jest za to bezpieczniejszy, dlatego jeśli masz jeszcze problemy z dodawaniem, to prawdopodobnie lepiej będzie ci korzystać z drugiej metody. Oczywiście to nie są jedyne skuteczne metody na dodawanie dwóch liczb i sam pewne znasz jeszcze inne możliwości (np. dopełniając pierwszy składnik do pełnej dziesiątki). Tak naprawdę wszystkie sposoby są dobre, o ile prowadzą nas do celu.

Przykład 5. Odejmowanie też może być proste! Analogicznie do dodawania spróbujmy odjąć sprytnie od siebie jakieś dwie duże liczby np. \(52-34\).

I sposób:
Tutaj ponownie rozbijemy sobie jedną z liczb na dziesiątki i jedności. Przepis na sukces jest prosty – od pełnej pierwszej liczby najpierw odejmujemy dziesiątki drugiej liczby, a dopiero potem jedności. W naszym przykładzie wyglądałoby to tak, że od \(52\) najpierw odejmiemy \(30\) (co jest bardzo łatwe), a dopiero potem odejmiemy jeszcze brakujące \(4\).
$$52-34=52-30-4=22-4=18$$

II sposób:
Ten sposób jest nieco ciekawszy, bowiem wykorzystuje fakt, że odejmowanie jest działaniem odwrotnym do dodawania. Odwracamy więc sytuację i zamiast wykonywać standardowe odejmowanie, zastanawiamy się jak dużo dzieli na osi liczbowej \(34\) i \(52\).
Od \(34\) do \(50\) jest \(16\), a do naszych \(52\) brakuje jeszcze \(2\). \(16+2=18\), więc taka też jest różnica między \(52\) i \(34\).

Podobnie jak przy dodawaniu, tak i tutaj możesz wymyślić także inne sposoby na wykonywanie takiego odejmowania. Pamiętaj tylko, by zawsze być ostrożnym przy wszystkich obliczeniach!

Podsumujmy:
Dodawanie jest przemienne i łączne, dzięki czemu możemy upraszczać sobie dodawanie poszczególnych liczb. Te cechy są szczególnie przydatne, gdy istnieje możliwość takiego grupowania składników, by liczyć na pełnych dziesiątkach.

Odejmowanie nie ma powyższych cech przemienności i łączności, co sprawia że nie możemy zamieniać ze sobą miejsc w działaniu, tak jak robiliśmy to w przypadku dodawania. Odejmowanie jest za to działaniem odwrotnym do dodawania, co możemy wykorzystywać przy sprytnych obliczeniach na dużych liczbach.

Zadania kontrolne:

Zadanie 1. Czy potrafisz wskazać jakąś sytuację z życia codziennego, w której wykorzystujemy fakt, że dodawanie jest przemienne? Krótko mówiąc, czy potrafisz wskazać takie miejsce/czynność gdzie ktoś dodaje do siebie liczby w dowolnej kolejności?

  • Odpowiedź: Przykładowo taka sytuacja występuje na zakupach. Kasjerka nie zwraca uwagi na kolejność wykładanych przez Ciebie zakupów, tylko zlicza je wszystkie po kolei. Niezależnie od tego w jakiej kolejności dodawałaby ceny produktów, to i tak wynik na paragonie wyjdzie ten sam.
Zadanie 2. Czy jest możliwe otrzymać ten sam wynik (np. \(10\)) na kilka rożnych sposobów, odejmując od siebie dwie zupełnie różne pary liczb?

  • Odpowiedź: Oczywiście że tak! Przykładowo:
    $$15-5=10 \\
    30-20=10 \\
    21-11=10$$
Zadanie 3. Oblicz tak jak jest Ci najwygodniej i sprawdź czy otrzymałeś poprawne wyniki:
a) \(49+52=\)
b) \(11+12+19+22+8=\)
c) \(111-68=\)

  • Odpowiedź:
    a) \(49+52=101\)
    b) \(11+12+19+22+8=72\)
    c) \(111-68=43\)

Zobacz także:

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.